Problema di Cauchy: equazioni diff lineari del 2° ordine

ilyily87
ciao a tutti...
stavo provando a risolvere il seguente problema di Cauchy:
$y'' + y' + 3y = x$
$ y(0) = 0$
$ y'(0)=1 $


in effetti non è che non sappia risolvere questo esercizio in particolare...è che non so risolvere qusto tipo di esercizi....so solo calcolare l'integrale generale dell'omogenea associata :(

ho fatto in questo modo:
$y'' + y' + 3y = 0$
$lambda^2 + lambda + 3 = 0$
$Delta = 1- 12 = -11$--------> $Delta<0$

$alpha = -1/2 beta=sqrt11/2 $


$y_0 = c_0 e^(-1/2x) cos sqrt(11/2)x + c_1 e^(-1/2x) sin sqrt(11/2)x$



ora non so proprio come procedere..... :?

molti in questo forum mi hanno accusato di non postare le mie soluzioni e di chiedere soltanto...beh...chiedo scusa se avete avuto quest'impressione di me,
ma è davvero solo questo quello che so fare....sui miei appuinti non ho trovato nulla e il libro lo spiega in arabo...adopera in determinate Wronskiano che la prof non ci ha fatto fare!!!

spero che possiate aiutarmi


Ila

Risposte
GIOVANNI IL CHIMICO
Il determinante wronskiano serve a verificare che la base dello spazio delle soluzioni sia costituito da funzioni linearmente indipendenti tra loro...insomma è un test sulla bontà della soluzione che hai trovato.

Luca.Lussardi
Non è un'accusa, è solo un consiglio che soprattutto io dò: ovvero che è inutile pretendere la soluzione intera di un esercizio. Va invece suggerita la via da seguire solo dopo che il richiedente mostra di averci provato. Solo così credo che il lavoro del forum sia produttivo e costruttivo.

Non è il caso di questo topic, apprezzo quello che hai fatto, che mi sembra corretto, e ti fornisco volentieri l'idea per terminare l'esercizio: cercare una soluzione particolare che andrà a sommare l'integrale generale dell'omogenea già trovato. Prova con un polinomio, magari dello stesso grado del termine noto.

GIOVANNI IL CHIMICO
Lo so che non è la soluzione più generale, ma si potrebbe ipotizzare una soluzione particolare nel caso in cui le derivate si annullino (ad esempio se la equazione rappresenta un fenomeno che raggiunge una condizione stazionaria) e la soluzione particolare risulta $y_p=x/3$.

ilyily87
Luca io non pretendo la soluzione intera dell'esercizio....come già detto la mia intenzione era chiedervi semplicemente delle dritte in quanto non so risolvere questo tipo di esercizi.....cmq grazie ad entrambi per l'aiuto...



cercare una soluzione particolare che andrà a sommare l'integrale generale dell'omogenea già trovato. Prova con un polinomio, magari dello stesso grado del termine noto.


quindi sarebbe giusto porre $bar y(x) = x(ax+b) = ax^2+ bx$ ?

GIOVANNI IL CHIMICO
Il termine noto è del primo grado, direi.

Luca.Lussardi
"Luca io non pretendo la soluzione intera dell'esercizio"

Se non sbaglio ho detto che non era il caso di questo topic.

ilyily87
ok Grazie Luca, hai ragione!


ritornando al problema...scusami ma non ho ben capito....quando hai scritto
Prova con un polinomio, magari dello stesso grado del termine noto.


il polinomio, in questo caso di primo grado, va moltiplicato al termine noto o è semplicemente ax+b??

Luca.Lussardi
E' $ax+b$ e va preso come candidato per una soluzione particolare. Lo metti nell'equazione e cerchi $a$ e $b$.

ilyily87
Luca ti ringrazio tantissimo!!!

ho capito finalmente il procedimento per questo tipo di esercizi...ma non riesco a risolvere questo!!!! non riesco a trovare $c_0$ e $c_1$ ](*,)

ti posto quello che ho provato a fare


$bar y(x) = ax+b$
$ bar y'(x) = a$
$bar y''(x) = 0$


$y'' + y' + 3y = x$
$a+3ax+3b=x$
$x(3a-1)+3b+a=0$

$3a-1=0 ->a=1/3$
$3b+a=0->b= - 1/9$

$y(x) = e^(-x/2) ( c_0cos(sqrt11/2) + c_1 sin ( sqrt11/2))+ ax+b$

sostituisco $a$ e $b$

$y(x) = e^(-x/2) ( c_0cos(sqrt11/2) + c_1 sin ( sqrt11/2))+ (3x-1)/9$
$y'(x)= 1/3 - e^(- x/2)·(c_0· COS(sqrt11/2) + c_1 SIN(sqrt11/2))/2$


quindi sostituisco $ y(0) = 0$ e $y'(0)= 1$

e ottengo
$c_0cos(sqrt11/2) + c_1 sin ( sqrt11/2) =0$
$y'(x)= 1/3 - (c_0· COS(sqrt11/2) + c_1 SIN(sqrt11/2))/2 =1$

facendo il sistema per trovare $c_0 $ e $c_1$ mi viene indefinito!! :shock: ...o almeno non so come continuare


sapresti aiutarmi??
comunque grazie infinite per l'attenzione

ilyily87
:? ho sbagliato tutto vero?? :smt090

Sk_Anonymous
La soluzione esatta e':
$y=1/9e^(-x/2)[cos((xsqrt11)/2)+(13sqrt11)/(11)sin ((xsqrt11)/2)]+(3x-1)/9$
karl

ilyily87
cioè? come hai fatto a trovare $c_0$ e $c_1$??



grazie mile cmq

Sk_Anonymous
La soluzione generale e':
$y=e^(-x/2)[C_0cos((xsqrt11)/2)+C_1sin((xsqrt11)/2)]+(3x-1)/9$
Imponendo le condizioni y(0)=0,y'(0)=1 si ha il sistema:
$[C_0-1/9=0,-1/2C_0+C_1(sqrt11)/2+1/3=1]$
da cui si ricavano i valori:
$C_0=1/9,C_1=(13)/(9sqrt11)$
che poi vanno sostituiti nella soluzione generale.
Faresti un utile esercizio a rifarli da te e confrontarli con quelli che ti ho
suggerito.
karl

ilyily87
ma ke idiota ke sono!!! #-o

faccio sempre questi errori di distrazione....
mi so scordata la x...eppure all'inizio l'avevo scritto....
grazie nn ci sarei mai arrivata :D

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