Problema di Cauchy, equazione differenziale del terzo ordine
Ciao ragazzi, sono uno studente di ingegneria.
Ho trovato sul mio libro di analisi un problema di Cauchy molto carino, volevo proporvelo. Non sono riuscito ancora a trovare la soluzione particolare e ovviamente le costanti arbirarie dell'integrale generale. Vi posto il problema, spero che tra di voi ci sia qualcuno esperto che riesca nell'impresa:
Provare che il problema di Cauchy
${ ( y'''-|y|=2e^x + sin^2 x ),( y(0)=0 ),( y'(0)=0 ),( y''(0)=0 ):}$
ha una e una sola soluzione $varphi (x)$ definita in $\R$. Determinare poi $varphi (x)$ per $x>= 0$.
Per provare il primo punto bisogna far vedere che le derivate parziali della funzione $f(x,y,y',y'')$ rispetto le variabili $(y,y',y'')$ sono limitatate e che la funzione $f(x,y,y',y'')$ è continua in uno strato dell'insieme $D=[a,b]xxR^3$, quindi per il teorema dell'esistenza e dell'unicita globale esiste una e una sola funzione $varphi(x)$ soluzione del problema di Cauchy per ogni $(x_0,y_0,y'_0,y''_0)$ appartenente a $D$. Bisogna, quindi valutare il segno di $y,$ $AA$ $x$ appartenente a $R^+$ e quindi passare all'equazione differenziale lineare, trovare l'integrale generale dell'omogenea associata. Fatto questo non resta che determinare le soluzioni particolari, la funzione esponenziale con base il numero di nepero non è un problema, è abbastanza facile (anche perchè nel libro c'è la formula), ma dannazione non ho la formula per determinare l'altra soluzione particolare...fatto questo non resta che determinare le costanti arbitrarie dell'integrale generale dell'equazione differenziale originaria.
Non so se sono stato chiaro, se c'è qualche punto che non è spiegato bene fatemelo sapere. Buon divertimento!
Ho trovato sul mio libro di analisi un problema di Cauchy molto carino, volevo proporvelo. Non sono riuscito ancora a trovare la soluzione particolare e ovviamente le costanti arbirarie dell'integrale generale. Vi posto il problema, spero che tra di voi ci sia qualcuno esperto che riesca nell'impresa:
Provare che il problema di Cauchy
${ ( y'''-|y|=2e^x + sin^2 x ),( y(0)=0 ),( y'(0)=0 ),( y''(0)=0 ):}$
ha una e una sola soluzione $varphi (x)$ definita in $\R$. Determinare poi $varphi (x)$ per $x>= 0$.
Per provare il primo punto bisogna far vedere che le derivate parziali della funzione $f(x,y,y',y'')$ rispetto le variabili $(y,y',y'')$ sono limitatate e che la funzione $f(x,y,y',y'')$ è continua in uno strato dell'insieme $D=[a,b]xxR^3$, quindi per il teorema dell'esistenza e dell'unicita globale esiste una e una sola funzione $varphi(x)$ soluzione del problema di Cauchy per ogni $(x_0,y_0,y'_0,y''_0)$ appartenente a $D$. Bisogna, quindi valutare il segno di $y,$ $AA$ $x$ appartenente a $R^+$ e quindi passare all'equazione differenziale lineare, trovare l'integrale generale dell'omogenea associata. Fatto questo non resta che determinare le soluzioni particolari, la funzione esponenziale con base il numero di nepero non è un problema, è abbastanza facile (anche perchè nel libro c'è la formula), ma dannazione non ho la formula per determinare l'altra soluzione particolare...fatto questo non resta che determinare le costanti arbitrarie dell'integrale generale dell'equazione differenziale originaria.
Non so se sono stato chiaro, se c'è qualche punto che non è spiegato bene fatemelo sapere. Buon divertimento!
Risposte
forse ci sono, applico la lnearità goniometrica e pongo
$sen^2x=(1-cos2x)/2$, e risolvo l'equazione per $f(x)=-(cos2x)/2$, ditemi se sbaglio, penso che la soluzione particolare vada cercata nella classe di funzioni $fi(x)=a cos2x+bsen 2x$
$sen^2x=(1-cos2x)/2$, e risolvo l'equazione per $f(x)=-(cos2x)/2$, ditemi se sbaglio, penso che la soluzione particolare vada cercata nella classe di funzioni $fi(x)=a cos2x+bsen 2x$
L'esistenza è banale, come dici tu.
La soluzione locale del problema è quanto meno di classe \(C^3\).
Dato che \(y^{\prime \prime \prime} (x) = 2e^x+\sin^2 x + |y(x)|\geq 2e^x> 0\), la funzione \(y^{\prime \prime }(x)\) è strettamente crescente intorno a \(0\); poiché \(y^{\prime \prime} (0)=0\), si ha \(y^{\prime \prime}(x)> 0\) [risp. \(< 0\)] per \(x> 0\) [risp. \(< 0\)].
Conseguentemente, \(y^\prime (x)\) è strettamente crescente [risp. decrescente] per \(x\geq 0\) [risp. \(\leq 0\)] e, poiché \(y^\prime (0)=0\), si ha \(y^\prime (x)>0\) per ogni \(x\neq 0\) in un intorno di \(0\).
Da ciò segue che \(y(x)\) è strettamente crescente intorno a \(0\), sicché, essendo \(y(0)=0\), è \(y(x)>0\) [risp. \(<0\)] per \(x>0\) [risp. \(<0\)].
Ne viene che, per \(x\geq 0\) possiamo senza dubbio considerare la soluzione locale \(y\) essere positiva e perciò la EDO diviene:
\[
y^{\prime \prime \prime} (x) - y(x)= 2e^x+\sin^2 x\; .
\]
La soluzione la spoilerizzo, perché hai già trovato la strada da solo.
La soluzione locale del problema è quanto meno di classe \(C^3\).
Dato che \(y^{\prime \prime \prime} (x) = 2e^x+\sin^2 x + |y(x)|\geq 2e^x> 0\), la funzione \(y^{\prime \prime }(x)\) è strettamente crescente intorno a \(0\); poiché \(y^{\prime \prime} (0)=0\), si ha \(y^{\prime \prime}(x)> 0\) [risp. \(< 0\)] per \(x> 0\) [risp. \(< 0\)].
Conseguentemente, \(y^\prime (x)\) è strettamente crescente [risp. decrescente] per \(x\geq 0\) [risp. \(\leq 0\)] e, poiché \(y^\prime (0)=0\), si ha \(y^\prime (x)>0\) per ogni \(x\neq 0\) in un intorno di \(0\).
Da ciò segue che \(y(x)\) è strettamente crescente intorno a \(0\), sicché, essendo \(y(0)=0\), è \(y(x)>0\) [risp. \(<0\)] per \(x>0\) [risp. \(<0\)].
Ne viene che, per \(x\geq 0\) possiamo senza dubbio considerare la soluzione locale \(y\) essere positiva e perciò la EDO diviene:
\[
y^{\prime \prime \prime} (x) - y(x)= 2e^x+\sin^2 x\; .
\]
La soluzione la spoilerizzo, perché hai già trovato la strada da solo.
Wow! può darsi che domani pomeriggio sarei riuscito anche io! grazie per la risposta
In sede del calcolo delle costanti arbitrarie ho applicato cramer, ma ragazzi ci sono quattro pagine di conti da fare, qualcuno conosce un metodo più veloce?
In effetti, il calcolo esplicito è tedioso e vengon fuori numeri non bellissimi.
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