Problema di Cauchy-Equazione differenziale del secondo ordine
Buongiorno. Come avrete capito anche in questo mese caldo sto studiando analisi:(.
Vi volevo chiedere delucidazioni su questo esercizio.
Es. Si consideri il seguente problema differenziale
\( \begin{cases} y''(x)+2y'(x) +ky(x)=|x|\\ y(0)=1 \\ y'(0)=0 \end{cases} \)
1. Sia $k>0$. Studiare la natura del punto critico $x_0=0$.
2. Sia $k=-3$. Quante volte la soluzione è derivabile in tutto $\mathbb{R}$?
3. Sia $k=-3$. Determinare la soluzione del problema.
Il punto 1. l'ho risolto nel modo seguente:
Porto in forma normale l'equazione differenziale \( y''(x)=-2y'(x) -ky(x)+|x| \), osservo che \( y''(0)=-2y'(0)-ky(0)=-k<0 \).
Allora per la permanenza del segno \( \exists\ I_{0}=(-\delta,\delta) \) con \( \delta>0 \) tale che \( y''(x)<0\quad\forall x\in I_{0} \). Di conseguenza \( y' \) è strettamente decrescente in \( I_{0} \) e osservando che \( y'(0)=0 \), allora deduciamo che \( y' <0 \) in \( (0,\delta) \) e \( y'>0 \) in \( (-\delta,0) \). Concludiamo che \( y \) è strettamente decrescente in \( (0,\delta) \) e strettamente decrescente in \( (-\delta,0) \), allora il punto $x_{0}=0$ è un punto di massimo relativo.
Ora per il punto 2. parto con una domanda scema. Questo Problema di Cauchy ha un'unica soluzione su tutto $\mathbb{R}$ poiché i coefficienti sono continui su tutto l'intervallo $\mathbb{R}$,il quale è anche il più grosso intervallo che contiene il punto $x_{0}=0$? Se così fosse la soluzione sarebbe derivabile almeno due volte ma non tre volte perché \( y'' \) non è derivabile in $0$?
Il punto 3. non riesco proprio a risolverlo. Non riesco a capire come calcolarmi la soluzione particolare; mi infastidisce notevolmente il valore assoluto.
Ringrazio anticipatamente chi risponderà, ma anche chi avrà provato a leggere il post
Vi volevo chiedere delucidazioni su questo esercizio.
Es. Si consideri il seguente problema differenziale
\( \begin{cases} y''(x)+2y'(x) +ky(x)=|x|\\ y(0)=1 \\ y'(0)=0 \end{cases} \)
1. Sia $k>0$. Studiare la natura del punto critico $x_0=0$.
2. Sia $k=-3$. Quante volte la soluzione è derivabile in tutto $\mathbb{R}$?
3. Sia $k=-3$. Determinare la soluzione del problema.
Il punto 1. l'ho risolto nel modo seguente:
Porto in forma normale l'equazione differenziale \( y''(x)=-2y'(x) -ky(x)+|x| \), osservo che \( y''(0)=-2y'(0)-ky(0)=-k<0 \).
Allora per la permanenza del segno \( \exists\ I_{0}=(-\delta,\delta) \) con \( \delta>0 \) tale che \( y''(x)<0\quad\forall x\in I_{0} \). Di conseguenza \( y' \) è strettamente decrescente in \( I_{0} \) e osservando che \( y'(0)=0 \), allora deduciamo che \( y' <0 \) in \( (0,\delta) \) e \( y'>0 \) in \( (-\delta,0) \). Concludiamo che \( y \) è strettamente decrescente in \( (0,\delta) \) e strettamente decrescente in \( (-\delta,0) \), allora il punto $x_{0}=0$ è un punto di massimo relativo.
Ora per il punto 2. parto con una domanda scema. Questo Problema di Cauchy ha un'unica soluzione su tutto $\mathbb{R}$ poiché i coefficienti sono continui su tutto l'intervallo $\mathbb{R}$,il quale è anche il più grosso intervallo che contiene il punto $x_{0}=0$? Se così fosse la soluzione sarebbe derivabile almeno due volte ma non tre volte perché \( y'' \) non è derivabile in $0$?
Il punto 3. non riesco proprio a risolverlo. Non riesco a capire come calcolarmi la soluzione particolare; mi infastidisce notevolmente il valore assoluto.
Ringrazio anticipatamente chi risponderà, ma anche chi avrà provato a leggere il post
Risposte
la soluzione dovrebbe essere la funzione la cui espressione è data dalla soluzione dell'equazione $y''+2y'-3y=x$ ,per $xgeq 0$ con le condizioni iniziali,unita alla soluzione di $y''+2y'-3y=-x$,per $xleq0$ con le stesse condizioni iniziali
in pratica una cosa del tipo $f(x)= { ( g(x),xgeq0 ),( h(x),xleq0 ):} $
in pratica una cosa del tipo $f(x)= { ( g(x),xgeq0 ),( h(x),xleq0 ):} $
"quantunquemente":
la soluzione dovrebbe essere la funzione la cui espressione è data dalla soluzione dell'equazione $y''+2y'-3y=x$ ,per $xgeq 0$ con le condizioni iniziali,unita alla soluzione di $y''+2y'-3y=-x$,per $xleq0$ con le stesse condizioni iniziali
in pratica una cosa del tipo $f(x)= { ( g(x),xgeq0 ),( h(x),xleq0 ):} $
Ok provo a calcolarmela. Per quanto riguarda il punto 2 ti sembra corretto quello che ho scritto oppure ho detto una fesseria?
Grazie
secondo me è corretto quello che hai scritto per il punto 2
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