Problema di Cauchy equazione differenziale del primo ordine

[jigen45]

Ragazzi, devo risolvere il seguente problema di Cauchy, potete dare un'occhiata per vedere se è corretto?

$ { ( y'=x(y-3) ),( y(0)=1 ):} $

$ dy/dx=x(y-3) $

$ int1/(y-3)dy=intxdx $

$ ln|y-3|=x^2/2+A $ (dove $A$ è una costante)

$ y-3=e^(x^2/2)cdote^A $

Poiché $ e^A $ è una costante, posso scrivere $e^A=C$

$ y-3=Ce^(x^2/2) $

$ y(x)=Ce^(x^2/2)+3 $

In base alle condizioni iniziali del sistema, ho che

\( y(0)=C+3=1\Longrightarrow C=-2 \)

Pertanto

$ y(x)=-2e^(x^2/2)+3 $

Ringrazio in anticipo

[D4lF4zZI0]

Si è corretto

[jigen45]

Perfetto, grazie mille!!

[gugo82]

"jigen45":Ragazzi, devo risolvere il seguente problema di Cauchy, potete dare un'occhiata per vedere se è corretto?
$ { ( y'=x(y-3) ),( y(0)=1 ):} $
$ dy/dx=x(y-3) $
$ int1/(y-3)dy=intxdx $
$ ln|y-3|=x^2/2+A $ (dove $A$ è una costante)
$ y-3=e^(x^2/2)cdote^A $
Poiché $ e^A $ è una costante, posso scrivere $e^A=C$
$ y-3=Ce^(x^2/2) $
$ y(x)=Ce^(x^2/2)+3 $
In base alle condizioni iniziali del sistema, ho che
\( y(0)=C+3=1\Longrightarrow C=-2 \)
Pertanto
$ y(x)=-2e^(x^2/2)+3 $
Ringrazio in anticipo

Sì, è corretto... Per quanto possa essere "corretto" un ragionamento del genere.

Ma la versione davvero corretta della cosa è la seguente.
1. Classificazione.

Il problema assegnato:
\[
\begin{cases} y^\prime (x) = x\ (y(x)-3)\\
y(0)=1
\end{cases}
\]
è un problema di Cauchy relativo ad una EDO del primo ordine, lineare a variabili separabili.
La funzione a secondo membro \(f(x,y):=x\ (y-3)\) è definita in \(\operatorname{Dom} f=\mathbb{R}^2\), quindi il PdC è ben posto (perché il punto iniziale \((x_0,y_0)=(0,1)\) è in \(\operatorname{Dom} f\)).

2. Esistenza di soluzioni, loro insieme di definizione e prime proprietà.

Dato che \(f\) è di classe \(C^\infty\) nel suo dominio, essa è localmente lipschitziana rispetto alla seconda variabile; pertanto il PdC ha unica soluzione locale.
Per noti risultati di problungamento, tale soluzione può essere prolungata ad un intervallo massimale \(]X_-,X^+[\) contenente \(0\), sicché \(-\infty\leq X_-<0
Osserviamo che la EDO \(y^\prime (x)=x(y(x)-3)\) ha certamente la soluzione costante \(y^*(x)=3\): infatti si ha:
\[
\big( y^*(x)\big)^\prime = 0 = x\ (y^*(x) -3)\; ;
\]
tuttavia, tale soluzione non è soluzione del PdC assegnato (in quanto essa non soddisfa la condizione iniziale) e quindi \(y(x)\neq y^*(x)\) come funzione.
Inoltre, il grafico della soluzione \(y(x)\) non può mai intersecare il grafico della soluzione costante \(y^*(x)\): infatti, se i grafici delle due soluzioni si intersecassero in un punto di ascissa\(c\in ]X_-,X_+[\), il PdC ausiliario:
\[
\begin{cases} y^\prime(x) = x\ (y(x)-3)\\
y(c)=3
\end{cases}
\]
avrebbe due soluzioni distinte, i.e. \(y(x)\) ed \(y^*(x)\), contro il fatto che per tale problema vale il teorema di esistenza ed unicità.
Quindi non solo le funzioni \(y(x)\) ed \(y^*(x)\) sono distinte, ma addirittura la prima non può mai assumere in alcun punto il valore assunto dalla seconda; dato che \(y(x)\) soddisfa \(y(0)=1\) e che \(1<3\), da quanto detto prima concludiamo che:
\[
y(x)<3
\]
ovunque in \(]X_-,X^+[\) (infatti, se, per assurdo, fosse \(y(x)\geq 3\) in un certo punto dell'intervallo \(]X_-,X^+[\), per il teorema dei valori intermedi esisterebbe \(c\) tra \(1\) ed \(x\) in modo che \(y(c)=3=y^*(c)\), ma ciò non è possibile).

3. Regolarità della soluzione.

La funzione \(y(x)\) è derivabile e la sua derivata soddisfa \(y^\prime (x)=x\ (y(x)-3)\). Dato che la funzione composta \(f(x,y(x))=x\ (y(x)-3)\) è derivabile ed ha derivata:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} x} f(x,y(x)) = (y(x)-3) + x\ \underbrace{y^\prime (x)}_{\color{red}{=x\ (y(x)-3)}} = (y(x) - 3) + x^2\ (y(x)-3)= (x^2+1)\ (y(x)-3)
\]
che è continua, la \(y^\prime (x)\) è derivabile ed ha derivata continua cioé \(y^\prime(x)\) è di classe \(C^1\); ciò importa che \(y(x)\) è di classe \(C^2(x)\).
Per i calcoli effettuati prima abbiamo:
\[
y^{\prime \prime} (x) = (x^2+1)\ (y(x)-3)
\]
quindi anche \(y^{\prime \prime} (x)\) è derivabile ed ha derivata continua (infatti il secondo membro, i.e. \((x^2+1)\ (y(x)-3)\), è una funzione addirittura \(C^2\)), sicché \(y^{\prime \prime} (x)\) è \(C^1\); pertanto \(y(x)\) è di classe \(C^3\)...
Per ricorrenza si vede che \(y(x)\) è di classe \(C^\infty\) lì dove definita.

4. Monotonia e segno della soluzione.

Dato che \(y(x)<3\), si ha \(y(x)-3<0\) ovunque in \(]X_-,X^+[\); pertanto è il segno di \(x\) a determinare il segno del secondo membro della EDO, \(x\ (y(x)-3)\); ne viene che:
\[
y^\prime (x)=x\ (y(x)-3)\geq 0\ \text{[risp. } y^\prime (x)\leq 0\text{]}\quad \Leftrightarrow\quad x\leq 0\ \text{[risp. } x\geq 0\text{]}\; ,
\]
ossia che \(y^\prime (x)\geq 0\) [risp. \(\leq 0\)] in \(]X_-,0]\) [risp. in \([0,X^+[\)]. Perciò \(y(x)\) è strettamente crescente in \(]X_-,0]\) e strettamente decrescente in \([0,X^+[\).
Conseguentemente il punto iniziale \(0\) è un punto di massimo assoluto per \(y(x)\) e dunque si ha la maggiorazione \(y(x)\leq y(0)=1\) in \(]X_-,X^+[\), che è più precisa di quella determinata in precedenza (i.e. \(y(x)<3\)).

5. Determinazione degli estremi dell'intervallo di definizione.

Visto che \(f(x,y)=x\ (y-3)\) è sublineare in \(y\), poiché sussiste a maggiorazione:
\[
|f(x,y)|\leq |x|\ |y| + 3|x|
\]
per ogni \((x,y)\in \mathbb{R}^2\), la soluzione \(y(x)\) è definita in tutto \(\mathbb{R}\) (cfr. Berti, Note del Corso di Sistemi Dinamici, Teor. 3.2.1, pag. 37); dunque si ha \(X_-=-\infty\) ed \(X^+=\infty\).

Inoltre, dalla monotonia di \(y(x)\) segue che esistono entrambi i limiti:
\[
\lim_{x\to -\infty} y(x)\quad \text{e}\quad \lim_{x\to \infty} y(x).
\]
Tali limiti non possono essere finiti: infatti, se lo fossero, essi dovrebbero essere entrambi \(\leq 1\) (per il teorema della permanenza del segno generalizzato) e perciò esisterebbero anche i limiti \(\lim_{x\to \pm \infty} y^\prime (x) = \mp \infty\); ma ciò non è possibile poiché, per il teorema dell'asintoto (cfr. Berti, loc. cit., Teor. 4.0.3, pag. 44), dovrebbe risultare \(\lim_{x\to \pm \infty} y^\prime (x)=0\).
Pertanto si ha certamente:
\[
\lim_{x\to \pm \infty} y(x) = -\infty
\]
(l'alternativa \(+\infty\) non è evidentemente possibile, data la maggiorazione \(y(x)\leq 1\)), dunque \(y(x)\) diverge negativamente agli estremi del suo dominio.

6. Studio della convessità.

Come già visto sopra si ha:
\[
y^{\prime \prime} (x) = (x^2+1)\ (y(x)-3)\; ;
\]
dato che \(x^2+1>0\) e che \(y(x)-3<0\), si ha \(y^{\prime \prime} (x)<0\) in \(\mathbb{R}\); quindi \(y(x)\) è ovunque concava nel suo dominio.

7. Determinazione esplicita della soluzione.

Dato che \(y(x)\) risolve la EDO \(y^\prime(x) = x\ (y(x)-3)\) e che \(y(x)\) non prende mai il valore \(3\), possiamo dividere m.a.m. per \(y(x)-3\) ottenendo l'uguaglianza:
\[
\frac{y^\prime(x)}{y(x)-3} = x
\]
valida per ogni \(x\in \mathbb{R}\). Dalla precedente segue l'uguaglianza tra le funzioni integrali di punto iniziale \(x_0=0\) dei due membri:
\[
\int_0^x \frac{y^\prime(t)}{y(t)-3}\ \text{d} t = \int_0^x t\ \text{d} t\; .
\]
Gli integrali che figurano a destra ed a sinistra del segno di uguaglianza si calcolano entrabi elementarmente: infatti:
\[
\begin{split}
\int_0^x t\ \text{d} t &= \left[ \frac{1}{2}\ t^2\right]_0^x \\
&= \frac{1}{2}\ x^2
\end{split}
\]
e:
\[
\begin{split}
\int_0^x \frac{y^\prime(t)}{y(t)-3}\ \text{d} t &= \left[ \ln |y(t)-3|\right]_0^x \\
&= \ln |\underbrace{y(x)-3}_{\color{red}{<0}}| - \ln |1-3|\\
&= \ln \big( 3-y(x)\big) -\ln 2\\
&= \ln \frac{3-y(x)}{2}
\end{split}
\]
visto che \(y(0)=1\); quindi l'uguaglianza tra funzioni integrali diviene:
\[
\ln \frac{3-y(x)}{2} = \frac{1}{2}\ x^2
\]
dalla quale, con un po' di algebra, traiamo:
\[
y(x) = 3 - 2\ e^{\frac{1}{2}\ x^2}
\]
che è l'espressione esplicita della soluzione \(y(x)\).

A posteriori, con un piccolo studio di funzione, si vede che tutto ciò che abbiamo previsto usando la sola teoria (insieme di definizione, comportamento agli estremi del dominio, monotonia, concavità) è valido.

[jigen45]

Grazie mille per la risposta sempre precisissima Ringrazio te vivamente ancora una volta e D4lF4zZI0 per aver speso del tempo per venirmi in aiuto!