Problema di Cauchy eq. diff semplice

[Ing.RicoGT]

Ciao a tutti, chiedo una mano su quest'equazione differenziale nella quale trovare l'integrale generale è molto semplice, solo che non ho ancora ben capito il metodo per risolvere il problema di cauchy...

(E) $y^('')-y=e^(-2x)$

l'integrale generale che ho trovato è questo:

$y=c_1e^(-x)+c_2e^x+e^(-2x)/3$

ora il 2° punto dell'esercizio mi chiede:

Si trovi la soluzione $y(x)=y(x,y_0,y_0^{\prime})$ di (E) Verificante $y(0)=y_0$ ; $y^{\prime}(0)=y_0^{\prime}$ ; $(y_0,y_0^{\prime})in RR^2$

e come ultimo punto il problema chiede di trovare l'insieme $A={(y_0,y_0^{\prime})inRR^2 | lim_(x->prop) y(x,y_0,y_0^{\prime})=0}$

grazie mille dell'aiuto

[ELWOOD1]

in generale la procedura è quella di egualgiare la soluzione da te trovata (e la sua derivata) ai dati di Cauchy in modo da determinare le costanti $C_1$ e $C_2$, ma se non conosci il valore numerico di $y_0$....non puoi risolverla in maniera "numerica"

[Camillo]

Puoi comunque risolverlo in maniera letterale imponendo le condizioni.
$y_0 = c_1+c_2+1/3$, calcolando poi la derivata e sostituendo si ottiene:
$y'_0= -c_1+c_2 = -2/3$
Adesso hai un sistema di due equazioni in 2 incognite ( $c_1,c_2) $ facilmente risolubile.

S.E.O. si ottengono i valori

$c_1 = 1/2(y_0-y'_0-1) ; c_2= 1/2(y_0+y'_0+1/3)$
La soluzione al problema di Cauchy è dunque

$y = 1/2(y'_0-y_0+1)e^(-x) +1/2(y_0+y'_0+1/3)e^x-(2/3)e^(-2x)$


Per $x to +oo $ il primo e il terzo termine tendono a $0$ ; perchè la soluzione tenda a $0 $ bisogna che il secondo termine sia $0 $ il che accade se e solo se $(y_0+y'_0+1/3)=0 $

[Ing.RicoGT]

si infatti, io avevo fatto questo...solo che non mi ero accorto che il quesito richiedesse y(x) esplicitata in funzione di $y_0$ e $y_0^{\prime}$ perciò pensavo ci fosse qualcosa che non mi era chiara a priori...
che demente...vi ho scomodato per un'idiozia simile

grazie mille delle risposte prive di insulti

[gugo82]

"Ing.RicoGT":
che demente...vi ho scomodato per un'idiozia simile

grazie mille delle risposte prive di insulti

A parte che su questo forum si insulta solo chi davvero se lo merita (:smt082)...

Il tuo problema e la soluzione egregiamente determinata da Camillo danno spunto per ricordare una cosa importante: la soluzione di un problema di Cauchy come quello proposto dipende in maniera continua non solo dalla $x$, ma anche dai dati iniziali $(y_0,y'_0)$; in altre parole, l'unico integrale massimale $y(x,y_0,y'_0)$ di:

$\{(y''-y=e^(-2x)),(y(0)=y_0),(y'(0)=y'_0):}$

è una funzione continua rispetto ad $(x,y_0,y'_0) in RR^3$.

Questo è un bel risultato che di solito viene "dimenticato per strada" nei corsi di Analisi II.

[Ing.RicoGT]

grazie mille delle spiegazioni

senza aprire un nuovo topic, vorrei soltanto chiedervi conferma della correttezza dello svolgimento di questo integrale triplo:

$intintint_Tsqrt(z)dxdydz$ con T= porzione di sfera unitaria contenuta nel primo ottante, delimitata dai piani x=0 e y=x, per cui corrisponderebbe ad 1/16 di sfera...

edit: risolto in coord sferiche

$pi/(21)$


calcolo della massa del solido T avente densità $mu=sqrt(|z|)+2$

$3/(14)pi$