Problema di Cauchy (eq. di Bernoulli)
Dato il seguente problema di Cauchy
${(x' = 3 t^2 x + t x^(3/2) ),(x(0) = 1):}$
si chiede di determinare l'intervallo massimale di definizione della soluzione.
Si tratta di un'equazione di Bernoulli e come tale si risolve in maniera piuttosto standard. Alla fine, con la posizione $y(t) = (x(t))^alpha$ pervengo a:
$ log | y(t) | = t^3 + t^2/2 + C$ , ovvero $| y(t) | = e^(t^3 + t^2/2) * e^C$ , $C in RR$.
$x(0) = 1$, quindi devo scegliere la soluzione $y(t) = e^(t^3 + t^2/2)$.
Come si fa a trovare l'intervallo massimale di definizione della soluzione? Su due piedi direi che è definita in $RR$... E' corretto (se sì perché? ) ?
Risposte
Se i tuoi conti sono corretti (perdonami, ma non ho il tempo per controllarli), allora hai certamente ragione, la soluzione è definita su tutto $RR$, essendo un esponenziale il cui esponente non ha problemi di definizione.
Ti chiederai, forse, il perchè di questa domanda riguardo l'intervallo massimale di definizione; ebbene, nell'ambito degli studi qualitativi è una cosa assolutamente standard. In pratica, se hai un'equazione differenziale, anche se non riesci ad integrarla esplicitamente, riesci a dire un sacco di cose sulle sue soluzioni fissato un dato iniziale.
Ad esempio, se esistono e se sono uniche; capire fino a quando sono "prolungabili", cioè fino a quando riesci a definirle (=intervallo massimale), puoi anche capire se esistono finiti o infiniti i limiti agli estremi di tale intervallo.
IMHO, è una cosa molto, molto interessante e il settore delle ODE ha un sacco di cose da dire. Se vuoi farti un'idea ti consiglio di cominciare a dare un'occhiata al Pagani-Salsa 2. Se poi vuoi approfondire, fammi un fischio, posso consigliarti altro materiale.
Ti chiederai, forse, il perchè di questa domanda riguardo l'intervallo massimale di definizione; ebbene, nell'ambito degli studi qualitativi è una cosa assolutamente standard. In pratica, se hai un'equazione differenziale, anche se non riesci ad integrarla esplicitamente, riesci a dire un sacco di cose sulle sue soluzioni fissato un dato iniziale.
Ad esempio, se esistono e se sono uniche; capire fino a quando sono "prolungabili", cioè fino a quando riesci a definirle (=intervallo massimale), puoi anche capire se esistono finiti o infiniti i limiti agli estremi di tale intervallo.
IMHO, è una cosa molto, molto interessante e il settore delle ODE ha un sacco di cose da dire. Se vuoi farti un'idea ti consiglio di cominciare a dare un'occhiata al Pagani-Salsa 2. Se poi vuoi approfondire, fammi un fischio, posso consigliarti altro materiale.
Ciao Paolo. Grazie della risposta. Sì, sapevo il fatto che le equazioni differenziali si usano studiare qualitativamente.
Tuttavia io conosco solo i teoremi di esistenza e unicità locale e globale e non so usarli per rispondere a quel tipo di domanda...
In ogni caso in questo esempio è giusto dire che non sono soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza globale? Infatti la funzione $f(t,x) = 3 t^2 x + t x^(3/2)$ ha una crescita superlineare nella variabile $x$ (se così si può dire)...
Quindi come so che effettivamente quella è l'unica soluzione definita su tutto $RR$ che è soluzione del mio problema?
Tuttavia io conosco solo i teoremi di esistenza e unicità locale e globale e non so usarli per rispondere a quel tipo di domanda...
In ogni caso in questo esempio è giusto dire che non sono soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza globale? Infatti la funzione $f(t,x) = 3 t^2 x + t x^(3/2)$ ha una crescita superlineare nella variabile $x$ (se così si può dire)...
Quindi come so che effettivamente quella è l'unica soluzione definita su tutto $RR$ che è soluzione del mio problema?
"Seneca":
In ogni caso in questo esempio è giusto dire che non sono soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza globale? Infatti la funzione $f(t,x) = 3 t^2 x + t x^(3/2)$ ha una crescita superlineare nella variabile $x$ (se così si può dire)...
Sì, certamente. Tuttavia dimentichi una cosa importante: il teorema di esistenza e unicità globale cui ti riferisci esibisce solo una condizione sufficiente, non necessaria. Il tuo è appunto un controesempio che mostra la non necessità.
Un altro (contro)esempio (forse più facile) è $y'=-(1+t)y^3$ (dico che è più semplice perchè l'equazione è a variabili separabili, ma il succo è lo stesso).
Più chiaro ora?
Vale
D'accordo... Ma allora non posso dire che quella è LA soluzione del problema; mi confermi?
Io sinceramente non ricordo come si risolvono le equazioni di Bernoulli; però, se sei arrivato a scrivere la soluzione, vuol dire che partendo dall'equazione iniziale hai scritto una serie di equivalenze che ti hanno portato a dedurre che $y(x)=...$.
Quindi, perchè la soluzione non dovrebbe essere unica? Se riesci a risolvere l'equazione in maniera esplicita e giungi ad un unica soluzione, allora quella è necessariamente unica (oppure hai sbagliato i conti). Non so se mi sono spiegato bene, se hai dubbi scrivi pure, sai che è sempre un piacere.
Quindi, perchè la soluzione non dovrebbe essere unica? Se riesci a risolvere l'equazione in maniera esplicita e giungi ad un unica soluzione, allora quella è necessariamente unica (oppure hai sbagliato i conti). Non so se mi sono spiegato bene, se hai dubbi scrivi pure, sai che è sempre un piacere.
Guardando il PdC mi sembra impossibile che la soluzione non esploda in tempo finito.
Sei sicuro che la soluzione che hai scritto sia corretta?
Sei sicuro che la soluzione che hai scritto sia corretta?
"Rigel":
Guardando il PdC mi sembra impossibile che la soluzione non esploda in tempo finito.
Sei sicuro che la soluzione che hai scritto sia corretta?
Concordo: infatti il secondo membro è sopralineare in \(x\).
Notiamo che intorno a \(0\) la soluzione è positiva (per permanenza del segno), ergo ha senso fare il cambiamento di variabile \(y:=x^{-1/2}\); procedendo in questo modo si trova:
\[
\begin{split}
y^\prime &= -\frac{1}{2}\ x^{-3/2}\ x^\prime\\
&= -\frac{1}{2} x^{-3/2}\ (3t^2\ x+t\ x^{3/2})\\
&= -\frac{3}{2}\ t^2 x^{-1/2}-\frac{1}{2}\ t\\
&= -\frac{3}{2}\ t^2\ y -\frac{1}{2}\ t
\end{split}
\]
sicché il PdC assegnato si muta nel PdC ausiliario:
\[
\begin{cases}
y^\prime +\frac{3}{2}\ t^2\ y =-\frac{1}{2}t\\
y(0)=1\; .
\end{cases}
\]
Il primo membro è simile alla derivata di un prodotto, quindi cerchiamo un fattore integrante \(\phi \): per fare ciò dobbiamo determinare la funzione \(\phi\) in modo che la EDO ottenuta moltiplicando m.a.m. la \(y^\prime +\frac{3}{2}\ t^2\ y =-\frac{1}{2}t\) per \(\phi\) abbia a primo membro la derivata di un prodotto. Moltiplicando m.a.m. troviamo:
\[
\phi\ y^\prime +\frac{3}{2}\ t^2\ \phi\ y =-\frac{1}{2}t\ \phi \; ,
\]
e l'unico modo in cui il primo membro può essere la derivata di un prodotto è che \(\phi\) soddisfi la condizione:
\[
\phi^\prime = \frac{3}{2}\ t^2\ \phi
\]
che è una EDO a variabili separabili; risolvendo "a occhio" si trova:
\[
\phi (t):= \exp \left( \frac{1}{2}\ t^3\right)\; .
\]
La EDO in \(y\) si riscrive dunque:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} t} \left[ \exp \left( \frac{1}{2}\ t^3\right)\ y(t)\right] = -\frac{1}{2}\ t\ \exp \left( \frac{1}{2}\ t^3\right)
\]
ed il PdC si può risolvere integrando; in tal modo si trova:
\[
\int_0^t \frac{\text{d}}{\text{d} \tau } \left[ \exp \left( \frac{1}{2}\ \tau^3\right)\ y(\tau )\right]\ \text{d} \tau = -\frac{1}{2}\ \int_0^t \tau \ \exp \left( \frac{1}{2}\ \tau^3\right)\ \text{d} \tau \; ,
\]
da cui:
\[
\left[ \exp \left( \frac{1}{2}\ \tau^3\right)\ y(\tau )\right]_0^t =-\frac{1}{2}\ \int_0^t \tau \ \exp \left( \frac{1}{2}\ \tau^3\right)\ \text{d} \tau
\]
ed infine:
\[
\exp \left( \frac{1}{2}\ t^3\right)\ y(t) -1 =-\frac{1}{2}\ \int_0^t \tau \ \exp \left( \frac{1}{2}\ \tau^3\right)\ \text{d} \tau\; .
\]
Quindi la soluzione del PdC ausiliario è:
\[
y(t) = \exp \left( -\frac{1}{2}\ t^3\right)\ \left(1-\frac{1}{2}\ \int_0^t \tau \ \exp \left( \frac{1}{2}\ \tau^3\right)\ \text{d} \tau\right)
\]
e perciò:
\[
x(t) = \exp \left( t^3\right)\ \left( 1-\frac{1}{2}\ \int_0^t \tau \ \exp \left( \frac{1}{2}\ \tau^3\right)\ \text{d} \tau \right)^{-2}
\]
che "esplode" in tempo finito a destra del punto iniziale \(0\) (perché quando \(t\to \infty\) l'argomento della potenza va a \(-\infty\)).
"gugo82":
[quote="Rigel"]Guardando il PdC mi sembra impossibile che la soluzione non esploda in tempo finito.
Sei sicuro che la soluzione che hai scritto sia corretta?
Concordo: infatti il secondo membro è sopralineare in \(x\).
[/quote]
Scusate la domanda sciocca, ma quanto ho affermato sopra io è corretto?
In sostanza, la sublinearità in $x$ è sufficiente a garantire esistenza e unicità globale, ma non è necessaria. Dico bene o mi sono rincitrullito?
Leggendo le vostre considerazioni mi sembra di capire che, visto che il secondo membro è sopralineare, allora la soluzione non può essere globalmente definita... Ma questo non mi pare corretto.
Scusate il dubbio scemo e la confusione
"Paolo90":
[quote="gugo82"][quote="Rigel"]Guardando il PdC mi sembra impossibile che la soluzione non esploda in tempo finito.
Sei sicuro che la soluzione che hai scritto sia corretta?
Concordo: infatti il secondo membro è sopralineare in \(x\).
[/quote]
[...] Leggendo le vostre considerazioni mi sembra di capire che, visto che il secondo membro è sopralineare, allora la soluzione non può essere globalmente definita... Ma questo non mi pare corretto.[...][/quote]
Non è che non può (e.g., \(x^\prime =t\ x^2,\ x(1)=0\) che ha soluzione \(x(t):=0\))... Però la sopralinearità in \(x\) della \(f(t,x)\) la pulce nell'orecchio la mette.
Seriamente... Se si continua a fare uno studio qualitativo "a priori" (che avevo cominciato a fare, ma poi ho colpevolmente tralasciato), si vede:
[*:26imzl7g] che la \(f(t,x):= t\ x\ (3t+\sqrt{x})\) è definita per \((t,x)\in \mathbb{R}\times [0,\infty[\), quindi ogni soluzione globale del problema ha da essere \(\geq 0\);
[/*:m:26imzl7g]
[*:26imzl7g] che \(f(t,x)> 0\) in \(]0,\infty[^2\) cosicché ogni soluzione globale è strettamente crescente [risp. decrescente] per \(t\geq 0\) [risp. \(\leq 0\)];
[/*:m:26imzl7g]
[*:26imzl7g] che le soluzioni globali sono di classe \(C^\infty\) fintantoché rimangono positive (ma comunque sono almeno di classe \(C^1\)) dove definite;
[/*:m:26imzl7g]
[*:26imzl7g] e, soprattutto, che la soluzione del problema è minorata dalle soluzioni \(u(t)\) del PdC:
\[
\begin{cases}
u^\prime = t\ u^{3/2}\\
u(0)=1\; ;
\end{cases}
\][/*:m:26imzl7g][/list:u:26imzl7g]
Siccome quest'ultimo PdC ha soluzioni \(u_+(t):=\frac{16}{(t^2+4)^2}\) e \(u_-(t):=\frac{16}{(t^2-4)^2}\), di cui la seconda esplodente in tempo finito, la conclusione è ovvia.
... e la pulce la mette soprattutto perché si tratta di una soluzione necessariamente positiva, e il secondo membro è dunque sempre positivo e a crescita superlineare.
Se ci fosse stato $-t x^{3/2}$ anziché $+t x^{3/2}$ sarebbe stata un'altra cosa.
Se ci fosse stato $-t x^{3/2}$ anziché $+t x^{3/2}$ sarebbe stata un'altra cosa.
Per rispondere alla domanda di Rigel, mi sa che avevo fatto un errore. 
${(x' = 3 t^2 x + t x^(3/2) ),(x(0) = 1):}$
Pongo $x = y^(1/gamma)$; allora è $x' = 1/gamma * y^(1/gamma - 1) * y'$.. E sostituendo ottengo:
$1/gamma * y^(1/gamma - 1) * y' = 3 t^2 * y^(1/gamma) + t * y^(3/(2 gamma))$
Da cui, dividendo per $1/gamma * y^(1/gamma - 1)$:
$ y' = 3 * gamma *t^2 * y + gamma * t * y^(3/(2 gamma) - 1/gamma + 1)$
Ed ora scelgo $gamma$ in modo tale che si annulli l'esponente della $y$ a secondo membro:
$3/2 - 1 + gamma = 0$ $Rightarrow$ $gamma = - 1/2$.
Dunque $ y' = - 3/2 *t^2 * y - 1/2 * t $ ... Ed ora uso il metodo del fattore integrante:
$e^( int 3/2 *t^2 dt ) * y' + e^( int 3/2 *t^2 dt ) * 3/2 t^2 * y = e^( int 3/2 *t^2 dt ) * (- 1/2) * t$
Essendo: $int 3/2 *t^2 dt = (t^3)/2 + C$ e ricordando la formula per la derivata di un prodotto (a primo membro), si ha:
$d/(dt) ( e^( (t^3)/2 + C ) * y ) = e^( (t^3)/2 + C ) * (- 1/2) * t$
$y(t) = e^( - (t^3)/2 - C ) * int e^( (t^3)/2 + C ) * (- 1/2) * t dt$
E poi si ritorna ad $x(t)$...
@Gugo: che è quasi la stessa cosa che hai trovato tu (mi sembra abbia proceduto nella stessa maniera); l'ho rifatta per capire il mio errore.
In ogni caso tu hai integrato tra $0$ e $t$, e le costanti di integrazione che sono venute a me nella tua espressione non compaiono. E' corretto ugualmente?
${(x' = 3 t^2 x + t x^(3/2) ),(x(0) = 1):}$
Pongo $x = y^(1/gamma)$; allora è $x' = 1/gamma * y^(1/gamma - 1) * y'$.. E sostituendo ottengo:
$1/gamma * y^(1/gamma - 1) * y' = 3 t^2 * y^(1/gamma) + t * y^(3/(2 gamma))$
Da cui, dividendo per $1/gamma * y^(1/gamma - 1)$:
$ y' = 3 * gamma *t^2 * y + gamma * t * y^(3/(2 gamma) - 1/gamma + 1)$
Ed ora scelgo $gamma$ in modo tale che si annulli l'esponente della $y$ a secondo membro:
$3/2 - 1 + gamma = 0$ $Rightarrow$ $gamma = - 1/2$.
Dunque $ y' = - 3/2 *t^2 * y - 1/2 * t $ ... Ed ora uso il metodo del fattore integrante:
$e^( int 3/2 *t^2 dt ) * y' + e^( int 3/2 *t^2 dt ) * 3/2 t^2 * y = e^( int 3/2 *t^2 dt ) * (- 1/2) * t$
Essendo: $int 3/2 *t^2 dt = (t^3)/2 + C$ e ricordando la formula per la derivata di un prodotto (a primo membro), si ha:
$d/(dt) ( e^( (t^3)/2 + C ) * y ) = e^( (t^3)/2 + C ) * (- 1/2) * t$
$y(t) = e^( - (t^3)/2 - C ) * int e^( (t^3)/2 + C ) * (- 1/2) * t dt$
E poi si ritorna ad $x(t)$...
@Gugo: che è quasi la stessa cosa che hai trovato tu (mi sembra abbia proceduto nella stessa maniera); l'ho rifatta per capire il mio errore.
In ogni caso tu hai integrato tra $0$ e $t$, e le costanti di integrazione che sono venute a me nella tua espressione non compaiono. E' corretto ugualmente?
Per quanto riguarda la correttezza del risultato, al momento non so dirti, poiché l'esercizio non è finito e non ho tempo di ricontrollare i passaggi intermedi.
Per quanto riguarda il metodo, mi pare che ci sei anche se usi la maledettissima costante arbitraria che io cerco di evitare.
Ad ogni modo, per evitare casini con le costanti è sempre meglio risolvere i PdC usando l'integrazione definita con un estremo variabile... All'inizio sembra scomodo, ma in realtà è una manna.
Per quanto riguarda il metodo, mi pare che ci sei anche se usi la maledettissima costante arbitraria che io cerco di evitare.
Ad ogni modo, per evitare casini con le costanti è sempre meglio risolvere i PdC usando l'integrazione definita con un estremo variabile... All'inizio sembra scomodo, ma in realtà è una manna.
"gugo82":
Ad ogni modo, per evitare casini con le costanti è sempre meglio risolvere i PdC usando l'integrazione definita con un estremo variabile... All'inizio sembra scomodo, ma in realtà è una manna.
No, no... Anche a me sembra una manna
ma volevo capire la differenza.Perché dici che non è finito, comunque?
"Seneca":
Perché dici che non è finito, comunque?
Perchè nella soluzione di un PdC non compare alcuna costante arbitraria (a meno che, ovviamente, non si verifichino problemi con l'unicità della soluzione, come ad esempio il fenomeno di Peano).
@ gugo82 & Rigel: Grazie mille per le delucidazioni, tutto chiaro.
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