Problema di Cauchy ed Integrale
Ho fatto il test Lunedì ed è stato un vero disastro.
Ci sono due esercizi in particolare che non sono riuscito a fare nel mio test, ve li posto di seguito:
1)
Si consideri il Problema di Cauchy
$\{(x''' + x' \sin x'' = x^2 + t),(x(1)=2),(x'(1)=4),(x''(1)=\pi):}$
una volta trasformato in Problema di Cauchy
per un’equazione in forma normale al primo ordine. Quale/i delle seguenti affermazioni `e/sono certamente vera/e?
(1) Questo problema soddisfa alle ipotesi del Teorema di Cauchy Locale
(2) Questo problema soddisfa alle ipotesi del Teorema di Cauchy Globale
Premetto che io ci ho provato ma non so proprio da dove partire per la sostituzione!
2)
Sia $A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \in [1,9] ; y >= |frac{x}{sqrt(3)}|\}$
Calcolare
$\int \int_A (\frac{2x^2y+3\sinhx^3cosh y}{x^2+y^2})dxdy$
Io in questo esercizio passo alle coordinate polari, mi si semplificano i $\rho$ e integro solo in $\theta$ ma il risultato non mi torna!
Ci sono due esercizi in particolare che non sono riuscito a fare nel mio test, ve li posto di seguito:
1)
Si consideri il Problema di Cauchy
$\{(x''' + x' \sin x'' = x^2 + t),(x(1)=2),(x'(1)=4),(x''(1)=\pi):}$
una volta trasformato in Problema di Cauchy
per un’equazione in forma normale al primo ordine. Quale/i delle seguenti affermazioni `e/sono certamente vera/e?
(1) Questo problema soddisfa alle ipotesi del Teorema di Cauchy Locale
(2) Questo problema soddisfa alle ipotesi del Teorema di Cauchy Globale
Premetto che io ci ho provato ma non so proprio da dove partire per la sostituzione!
2)
Sia $A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2+y^2 \in [1,9] ; y >= |frac{x}{sqrt(3)}|\}$
Calcolare
$\int \int_A (\frac{2x^2y+3\sinhx^3cosh y}{x^2+y^2})dxdy$
Io in questo esercizio passo alle coordinate polari, mi si semplificano i $\rho$ e integro solo in $\theta$ ma il risultato non mi torna!
Risposte
Per il 2), scrivi qualche conto!
[Anche per l'1), a dire la verità...]
[Anche per l'1), a dire la verità...]
Come si fa a ricondurre un'equazione del tipo \(x^{(n)}=f(t,x,x^\prime ,\ldots ,x^{(n-1)})\) ad un sistema del primo ordine?
C'è spiegato in tutti i libri seri sulle EDO, quindi mi sa che c'è anche sul tuo testo di riferimento.
C'è spiegato in tutti i libri seri sulle EDO, quindi mi sa che c'è anche sul tuo testo di riferimento.
Bè, in teoria è una cosa che non davo per probabile in un esame di quest'anno...non l'ho mai fatto! Comunque stavo provando a scrivere i calcoli che ho fatto io.
Allora,il primo problema si risolve in questo modo:
$\{(X_1=x),(X_2=x'),(X_3=x''):}$
da qui ricavo il sistema:
$\{(X'_1=X_2),(X'_2=X_3),(X'_3=-X'_1\sinX'_2 + (X_1)^2+t):}$
La terza equazione è il nostro problema portato al prim'ordine. Si può notare subito che avendo un termine al quadrato risulta non sublineare e pertanto non soddisfa alle ipotesi del Teorema di Cauchy globale; soddisfa invece le ipotesi del Teorema Locale, in quanto ho un prodotto fra un termine di grado uno la funzione seno che è limitata e di Lipschitz sommato ad un termine al quadrato che è comunque localmente Lipschitz. Che siano funzioni continue è ovvio, quindi le ipotesi sono soddisfatte.
Il secondo esercizio io l'ho svolto partendo da una sostituzione:
$\{(x=\rho\cos\theta),(y=\rho\sin\theta):}$
quindi
$A'=\{(\rho,\theta)\in\mathbb{R}^2 : 1<=\rho^2<= 9 ; \rho\sin\theta >=|\frac{\rho\cos\theta}{sqrt(3)}|}$
io ho proseguito così:
$1<=\rho<=3$ e $\sin\theta>=|\cos\theta|/sqrt(3)$ significa che $\sin\theta>0$ e $\sin\theta>=\cos\theta /sqrt(3)$
Ho che vale la disuguaglianza per $\pi/6 <= \theta <= 5\pi/6$
So inoltre che per la sostituzione moltiplico per il determinante dello Jacobiano, cioè
$|J|=\rho$
Quindi ho:
$\int_1^3 d\rho \int_(\pi/6)^(5\pi/6) \frac{2\rho^2\cos^2 \theta \rho \sin\theta}{\rho^2\cos^2\theta+\rho^2\sin^2\theta} \rho d\theta$
svolgo:
$2/3 \int_1^3\rho^2 d\rho \int_(\pi/6)^(5\pi/6) 3\cos^2\theta\sin\theta d\theta$
integrando ottengo $2/3*[\rho^3/3]_1^3 [\cos^3\theta]_(\pi/6)^(5\pi/6)$
$2/3*(27/3 - 1/3)*(-3sqrt(3)/8 - 3sqrt(3)/8)$
Da cui ho che il risultato corretto è $13sqrt(3)/3$
Nel compito ho fatto errori di calcolo! Si vede che ero già fuso dal test!!
$\{(X_1=x),(X_2=x'),(X_3=x''):}$
da qui ricavo il sistema:
$\{(X'_1=X_2),(X'_2=X_3),(X'_3=-X'_1\sinX'_2 + (X_1)^2+t):}$
La terza equazione è il nostro problema portato al prim'ordine. Si può notare subito che avendo un termine al quadrato risulta non sublineare e pertanto non soddisfa alle ipotesi del Teorema di Cauchy globale; soddisfa invece le ipotesi del Teorema Locale, in quanto ho un prodotto fra un termine di grado uno la funzione seno che è limitata e di Lipschitz sommato ad un termine al quadrato che è comunque localmente Lipschitz. Che siano funzioni continue è ovvio, quindi le ipotesi sono soddisfatte.
Il secondo esercizio io l'ho svolto partendo da una sostituzione:
$\{(x=\rho\cos\theta),(y=\rho\sin\theta):}$
quindi
$A'=\{(\rho,\theta)\in\mathbb{R}^2 : 1<=\rho^2<= 9 ; \rho\sin\theta >=|\frac{\rho\cos\theta}{sqrt(3)}|}$
io ho proseguito così:
$1<=\rho<=3$ e $\sin\theta>=|\cos\theta|/sqrt(3)$ significa che $\sin\theta>0$ e $\sin\theta>=\cos\theta /sqrt(3)$
Ho che vale la disuguaglianza per $\pi/6 <= \theta <= 5\pi/6$
So inoltre che per la sostituzione moltiplico per il determinante dello Jacobiano, cioè
$|J|=\rho$
Quindi ho:
$\int_1^3 d\rho \int_(\pi/6)^(5\pi/6) \frac{2\rho^2\cos^2 \theta \rho \sin\theta}{\rho^2\cos^2\theta+\rho^2\sin^2\theta} \rho d\theta$
svolgo:
$2/3 \int_1^3\rho^2 d\rho \int_(\pi/6)^(5\pi/6) 3\cos^2\theta\sin\theta d\theta$
integrando ottengo $2/3*[\rho^3/3]_1^3 [\cos^3\theta]_(\pi/6)^(5\pi/6)$
$2/3*(27/3 - 1/3)*(-3sqrt(3)/8 - 3sqrt(3)/8)$
Da cui ho che il risultato corretto è $13sqrt(3)/3$
Nel compito ho fatto errori di calcolo! Si vede che ero già fuso dal test!!
"andreabs85":
Allora,il primo problema si risolve in questo modo:
$\{(X_1=x),(X_2=x'),(X_3=x''):}$
da qui ricavo il sistema:
$\{(X'_1=X_2),(X'_2=X_3),(X'_3=-X'_1\sinX'_2 + (X_1)^2+t):}$
La terza equazione è il nostro problema portato al prim'ordine.
Quando metti il sistema in forma normale, le derivate devono figurare solamente a sinistra dell'uguale.
Il sistema corretto è:
\[
\begin{cases}
X_1^\prime =X_2\\
X_2^\prime =X_3\\
X_3^\prime = t -X_2\ \sin X_3 +X_1^2
\end{cases}
\]
che è del primo ordine in forma normale con al secondo membro la funzione vettoriale:
\[
\mathbf{f} (t,X_1,X_2,X_3) := \left( X_2,\ X_3,\ t -X_2\ \sin X_3 +X_1^2\right)\; ;
\]
tale funzione è localmente lipschitziana (perché \(C^\infty (\mathbb{R}^4;\mathbb{R}^3)\)), quindi le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità locali sono soddisfatte sempre; non sono soddisfatte le ipotesi del teorema di prolungabilità globale perché non hai una funzione sublineare al secondo membro.
Per quanto riguarda l'integrale, il contributo che viene fuori dal pezzo con le funzioni iperboliche mi pare se ne vada (perché quel pezzo è dispari rispetto a \(x\)), quindi devi integrare solamente \(2x^2y/(x^2+y^2)\)... E mi pare che fai proprio questo.
Però mi sembra che ti manchi un segno \(-\) quando integri il coseno, no?
Però mi sembra che ti manchi un segno − quando integri il coseno, no?
Si esatto, l'ho dimenticato nella parentesi precedente
Grazie per la precisazione sul sistema di equazioni. A dire il vero non avevo mai svolto esercizi di questo tipo, quindi è per quello che avevo parecchi problemi.
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