Problema di Cauchy e teorema del Dini
Volevo chiedervi quando e come è possibile esplicitare una funzione descritta implicitamente da un'altra.
Mi spiego meglio: ho un $ (PC) $ del tipo
$ { ( y'= -(M(x,y))/(N(x,y)) ),( y(x_0)=y_0 ):} $
dopo aver verificato che la 1-forma differenziale $ omega = Mdx+Ndy $ sia chiusa e che $ N(x_0,y_0) ne 0 $ so dal Teorema di Dini che $ EE!phi:[x_0-delta,x_0+delta]->RR , phi in C^1 t.c. $
[size=150]$ { ( phi'(x)= -((partial V)/(partial x) (x,phi(x)))/((partial V)/(partial y) (x,phi(x))) ),( phi(x_0)=y_0 ):} $ [/size]
quindi integro la 1-forma differenziale su una curva del tipo $ Gamma = {(x_0,y_0),(x,y_0)}uu{(x,y_0),(x,y)} $ (è un'unione di due segmenti) e ottengo un potenziale locale per $ omega $ in un intorno stellato di $ (x_0,y_0) $
questo potenziale $ V $ descrive implicitamente la soluzione del $ (PC) $
la mia domanda è: come faccio a esplicitare la soluzione? è possibile in ogni caso?
in genere negli esercizi per l'esame il professore si ferma una volta trovato il potenziale e si limita a dire che esso descrive implicitamente la soluzione del problema, la mia è più una curiosità/necessità di capirci di più
Mi spiego meglio: ho un $ (PC) $ del tipo
$ { ( y'= -(M(x,y))/(N(x,y)) ),( y(x_0)=y_0 ):} $
dopo aver verificato che la 1-forma differenziale $ omega = Mdx+Ndy $ sia chiusa e che $ N(x_0,y_0) ne 0 $ so dal Teorema di Dini che $ EE!phi:[x_0-delta,x_0+delta]->RR , phi in C^1 t.c. $
[size=150]$ { ( phi'(x)= -((partial V)/(partial x) (x,phi(x)))/((partial V)/(partial y) (x,phi(x))) ),( phi(x_0)=y_0 ):} $ [/size]
quindi integro la 1-forma differenziale su una curva del tipo $ Gamma = {(x_0,y_0),(x,y_0)}uu{(x,y_0),(x,y)} $ (è un'unione di due segmenti) e ottengo un potenziale locale per $ omega $ in un intorno stellato di $ (x_0,y_0) $
questo potenziale $ V $ descrive implicitamente la soluzione del $ (PC) $
la mia domanda è: come faccio a esplicitare la soluzione? è possibile in ogni caso?
in genere negli esercizi per l'esame il professore si ferma una volta trovato il potenziale e si limita a dire che esso descrive implicitamente la soluzione del problema, la mia è più una curiosità/necessità di capirci di più
Risposte
Detto concisamente (che però credo risulterà sufficiente):
prendiamo la curva di livello \(f(\vec{x})=c,\>c\in\mathbb{R}\) di una certa funzione \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\). Se sono soddisfatte le ipotesi del teorema delle funzioni implicite, \(\exists y: f(x,y(x))=c\). Deriviamo:\[\frac{\partial f}{\partial x}(x,y(x))+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y(x))y'(x)=0\]Allora, se \(f\) è il potenziale di un certo campo vettoriale \(F(x,y)=(M(x,y),N(x,y))\), l'insieme di livello \(f(x,y)=c\) esprime l'integrale generale dell'equazione differenziale \(M(x,y)+N(x,y)y'=0\), dove rimarco che si ha \(f_x=M\) e \(f_y=N\).
prendiamo la curva di livello \(f(\vec{x})=c,\>c\in\mathbb{R}\) di una certa funzione \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\). Se sono soddisfatte le ipotesi del teorema delle funzioni implicite, \(\exists y: f(x,y(x))=c\). Deriviamo:\[\frac{\partial f}{\partial x}(x,y(x))+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y(x))y'(x)=0\]Allora, se \(f\) è il potenziale di un certo campo vettoriale \(F(x,y)=(M(x,y),N(x,y))\), l'insieme di livello \(f(x,y)=c\) esprime l'integrale generale dell'equazione differenziale \(M(x,y)+N(x,y)y'=0\), dove rimarco che si ha \(f_x=M\) e \(f_y=N\).
Scusa ma io avevo chiesto come riuscire a esplicitare $ y $, quello che hai descritto tu non è il procedimento per arrivare alla "formula" $ y'(x)=(f_x(x,y(x)))/(f_y(x,y(x))) $ ?
Anche (ma non davvero). Quello a cui non hai prestato attenzione è il punto nodale e cioè (ovviamente) la parte che fa riferimento alla soluzione dell'equazione differenziale:
l'insieme di livello \(f(x,y)=c\) esprime l'integrale generale dell'equazione differenziale\(f(x,y)=c,\>c\in\mathbb{R}\) è soluzione, scritta implicitamente ed eventualmente esplicitabile. (Ti faccio notare che, infatti, in \(f(x,y)\) non compaiono le derivate di \(y\)).
scusa ma a questo punto non ho capito se non hai letto con attenzione la mia domanda, io sto chiedendo proprio come e quando si può esplicitare la soluzione.
quando dici l'insieme di livello $ f(x,y)=c in RR $, con $ (x,y) $ cosa intendi? una coppia specifica di valori? o tutte le coppie tali che il potenziale in quei punti equivalga a $ c $? è un concetto totalmente nuovo per me
quando dici l'insieme di livello $ f(x,y)=c in RR $, con $ (x,y) $ cosa intendi? una coppia specifica di valori? o tutte le coppie tali che il potenziale in quei punti equivalga a $ c $? è un concetto totalmente nuovo per me
\(f(x,y)=c,\>c\in\mathbb{R}\) è soluzione, scritta implicitamente ed eventualmente esplicitabile.Insomma, alle volta è esplicitabile, altre volte non lo è tramite funzioni elementari, come qualsiasi funzione espressa in tale forma.
Se la soluzione fosse sempre esplicitabile, non ci sarebbe bisogno del teorema del Dini. Quel teorema serve proprio a dire: "anche se non riesci ad esplicitare la soluzione, ti garantisco che essa esiste e te ne dico qualche proprietà".
ok adesso mi è più chiaro. per curiosità, mi fareste un esempio di quando è esplicitabile?
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