Problema di cauchy e teorema annesso

[Mrhaha]

Ciao ragazzi!
Stavo studiando la dimostrazione del teorema di cauchy locale per il problema di cauchy nella forma normale del tipo $y'=f(x,y)$.
Ma nelle ipotesi mi dice che deve essere continua in un certo $I x J$ e che sia Lipschitziana rispetto ady “uniformemente” per $x in I$. Ma cosa significa esattamente quell'uniformemente? Perchè è importante nella dimostrazione?
Grazie!

[Paolo902]

"Mrhaha": Ma nelle ipotesi mi dice che deve essere continua in un certo $I \times J$ e che sia Lipschitziana rispetto ad y “uniformemente” per $x in I$. Ma cosa significa esattamente quell'uniformemente? Perchè è importante nella dimostrazione?

In realtà, non serve che la funzione sia lipschitiziana.
Le ipotesi del thm di esistenza e unicità locali (di Cauchy) sono due: supponiamo che [tex]f\colon \Omega \to \mathbb{R}^{n}[/tex], dove [tex]\Omega[/tex] è un aperto di [tex]\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n}[/tex]. Allora se

1) $f \in C(\Omega)$
2) $f$ è localmente lipschitziana in $y$, uniformemente in $x$

allora per ogni $(x_0,y_0) \in \Omega$ esiste ed è unica una soluzione locale, cioè esistono un $delta>0$ e una funzione $\phi$ tale che $phi$ è soluzione del problema di Cauchy in $I_{\delta}:=[x_0-delta, x_0+delta]$ (e tale soluzione è unica, nel senso che ogni altra soluzione del problema coincide con $phi$ su $I_\delta$).

Bene, che cosa significa l'ipotesi 2? Significa che per ogni compatto $K subset Omega$, esiste una costante $L_{K}$ tale che
[tex]\Vert f(x,y_1) - f(x,y_2) \Vert \le L_{K}\Vert y_1 - y_2 \Vert, \quad \forall (x,y_1), (x,y_2) \in K[/tex].

In sostanza, l'avverbio "uniformemente" significa che la prima variabile non deve "contare", cioè che la lipschitzianità non deve dipendere dalla $x$.

Per capire come venga utilizzata tale ipotesi, ti rimando direttamente alla dimostrazione.

Nota, infine, che se il campo $f(x,y)$ è $C^{1}(\Omega)$, allora la 2) è automaticamente verificata. Sapresti dire perchè?

[Mrhaha]

Allora! Comincio con la risposta alla tua domanda. Ho paura di sbagliare!
Se una funzione è di classe $C^1$ significa che le sue derivate sono continue, quindi in un compatto queste derivate ammetto espremo superiore per Weistrass, e posso prendere questo sup come costante di Lip. della funzione $f(x,y)$ .
Mi rendo conto che sicuramente manca un pò di formalismo, ma capiscimi, è da poco che abbiamo a che fare con questi argomenti!
Per quanto riguarda il termine "uniforme" ora mi è decisamente molto più chiaro!