Problema di Cauchy e successione

[Studente Anonimo]

Questo esercizio l'ho risolto, ma vorrei capire perché accade una cosa
Consideriamo la funzione \( u \) soluzione dell equazione
\[ \left\{\begin{matrix}
u'=u\\
u(0)=1
\end{matrix}\right. \]
Calcolare esplicitamente la successione iterata definita da
\( u_0 :=t \rightarrow 1 \) e \( \forall (j,t) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{R}_+ \); \[ u_j(t):=u(0) + \int_{0}^{t} f(s,u_{j-1}(s))ds \]
Allora la successione è data da
\( u_j(t) = \sum\limits_{k=0}^{j} \frac{t^k}{k!} \)
Infatti
\( u_0(t) = 1 \), \( u_1(t) = 1 + \int_{0}^{t} 1 ds = 1 + t \), \( u_2(t) = 1 + \int_{0}^{t} 1+t ds=1+t + \frac{t^2}{2} \),.. eccetera

"Guarda caso" \(\lim\limits_{j \to \infty} u_j= \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{t^k}{k!} = e^t \) che è la soluzione del problema di Cauchy iniziale.

Mi chiedevo il motivo per cui accade questo (evidentemente non è un caso ).
Inoltre mi domandavo anche, per voi è chiaro che \( f(s,u_{j-1}(s))=u_{j-1}(s) \) ? Ci ho messo un po' a capire che doveva essere così. Come mai? Viene per caso dal fatto che nel problema di Cauchy \( u'(t) = u(t)=f(t,u(t)) \) ? Se ad esempio avessimo \( u'(t) = u(t) + t = f(t,u(t)) \) allora anche nell integrale dovrei sostituire \( f(s,u_j(s))ds =(u_j(s) + s )ds \) ?
Inoltre non capisco bene nemmeno la notazione \( u_0 := t \rightarrow 1 \).

[Bremen000]

Ciao, hai mai visto la dimostrazione del teorema di Cauchy Lipshitz? Secondo me potrebbe essere una buona idea darci un’occhiata, vedrai che le tue domande troveranno risposta!

[dissonance]

Al resto delle domande la risposta è si. L'equazione \(u'=u\) corrisponde a \(f(t, u)=u\). Quanto a \(t\mapsto 1\), è una notazione formalmente molto precisa per indicare la funzione costante \(1\).

[gugo82]

@3m0o: Si chiamano iterate di Picard, da Émile Picard (1856 - 1941) matematico francese che ha dimostrato il teorema che citava Bremen con questo metodo.