Problema di Cauchy e prolungamenti
Ciao a tutti, ho questo problema di Cauchy:
${(y'-(4y)/(4x^2-8x+3)=(3-2x)/2),(y(1)=a):}$.
Si ha che l'equazione ha problemi in $x=1/2$ $vv$ $x=3/2$, per cui essa ha dominio
$((-oo, 1/2)uu(1/2, 3/2)uu(3/2, +oo)) xx RR$.
Considerando poi che $x_0=1$, l'insieme in cui vive l'equazione è $(1/2, 3/2) xx RR$.
Supponiamo che la soluzione da me trovata sia quella corretta, e quindi che $y_a(x)=(3-2x)/(1-2x)(1/2x(1-x)-a)$.
Mi si chiede per quali valori $y_a$ può essere estesa ad una funzione di classe $C^1$ rispettivamente su $(1/2, +oo)$ e su $(-oo, 3/2)$.
Tuttavia, non so davvero come fare. Qualcuno mi può indicare la via? Ho sempre avuto qualche difficoltà nel capire i prolungamenti delle soluzioni di equazioni differenziali...
${(y'-(4y)/(4x^2-8x+3)=(3-2x)/2),(y(1)=a):}$.
Si ha che l'equazione ha problemi in $x=1/2$ $vv$ $x=3/2$, per cui essa ha dominio
$((-oo, 1/2)uu(1/2, 3/2)uu(3/2, +oo)) xx RR$.
Considerando poi che $x_0=1$, l'insieme in cui vive l'equazione è $(1/2, 3/2) xx RR$.
Supponiamo che la soluzione da me trovata sia quella corretta, e quindi che $y_a(x)=(3-2x)/(1-2x)(1/2x(1-x)-a)$.
Mi si chiede per quali valori $y_a$ può essere estesa ad una funzione di classe $C^1$ rispettivamente su $(1/2, +oo)$ e su $(-oo, 3/2)$.
Tuttavia, non so davvero come fare. Qualcuno mi può indicare la via? Ho sempre avuto qualche difficoltà nel capire i prolungamenti delle soluzioni di equazioni differenziali...
Risposte
Premettendo che la soluzione che hai trovato mi torna, si vede facilmente che è sempre prolungabile su $RR \setminus {1/2}$, e $1/2$ è l'unico punto "problematico"; in particolare, su $(1/2,+oo)$ si riesce sempre, mentre un'eventuale estensione $\overline{y_a}:(-oo, 3/2) \rightarrow RR$ coincide con $y_a$ in $(1/2,3/2)$ ed è continua in $x=1/2$, ma allora $lim_{x \rightarrow (1/2)^+} \overline{y_a}(x)=lim_{x \rightarrow (1/2)^+} y_a (x)$ deve esistere ed essere finito, cosa che accade se e solo se il numeratore si annulla in $1/2$, cioè se e solo se $a=1/8$, da cui si trova $((2x-3)(1-2x))/8$.
Ciao spugna, grazie per la risposta... quindi i punti candidati alla "non prolungabilità" sono quelli che non sono nel dominio della soluzione, giusto? Quindi il problema, nel mio caso, sta soltanto in $1/2$.
Siccome l'equazione sta in $ (1/2, 3/2) xx RR $, concludo che l'intervallo $(1/2, +oo)$ non ha problemi perché non contiene il punto critico. Invece l'eventuale $ \overline{y_a}:(-oo, 3/2) \rightarrow RR $ deve "incollarsi bene" con la soluzione trovata, e quindi vedo per quali valori di $a$ è soddisfatto il limite $ lim_{x \rightarrow (1/2)^+} \overline{y_a}(x)=lim_{x \rightarrow (1/2)^+} y_a (x) $
Però come concludi che questo avviene sse il numeratore si annulla? In un intorno di $1/2$ questo non darebbe luogo ad una forma di indeterminazione?
Siccome l'equazione sta in $ (1/2, 3/2) xx RR $, concludo che l'intervallo $(1/2, +oo)$ non ha problemi perché non contiene il punto critico. Invece l'eventuale $ \overline{y_a}:(-oo, 3/2) \rightarrow RR $ deve "incollarsi bene" con la soluzione trovata, e quindi vedo per quali valori di $a$ è soddisfatto il limite $ lim_{x \rightarrow (1/2)^+} \overline{y_a}(x)=lim_{x \rightarrow (1/2)^+} y_a (x) $
Però come concludi che questo avviene sse il numeratore si annulla? In un intorno di $1/2$ questo non darebbe luogo ad una forma di indeterminazione?
"Gustav Wittgenstein":
Però come concludi che questo avviene sse il numeratore si annulla? In un intorno di $1/2$ questo non darebbe luogo ad una forma di indeterminazione?
Una volta fissato $a$, $y_a$ è una funzione razionale, ma per questa classe di funzioni c'è un metodo semplice per calcolare i limiti: supponendo di aver scomposto numeratore e denominatore, e di aver ridotto la frazione ai minimi termini, il limite per $x->b$ esiste ed è finito se e solo se $x-b$ non compare al denominatore (in tal caso basta effettuare la sostituzione, altrimenti si ha la forma $[k/0]$, con $k ne 0$ perché al numeratore non c'è $x-b$).
Nel tuo caso il numeratore è, a meno di costanti, $x-1/2$, quindi basta imporre che quest'ultimo si cancelli con un fattore del numeratore, o equivalentemente che il numeratore si annulli in $1/2$.
"spugna":
Nel tuo caso il numeratore è [...]
Se qui intendi denominatore, allora ti seguo. Grazie per la spiegazione.
In generale, se voglio controllare se la soluzione è prolungabile su un dato intervallo, questo modo di procedere è sempre valido? Ovvero mi basta considerare il limite della soluzione e richiedere che sia finito?
Sì scusa, intendevo il denominatore..! 
Per quanto riguarda il caso generale, ti confesso che non ho molta familiarità con questi problemi, comunque quello che mi viene da dire è che la condizione del limite finito è necessaria per la continuità, ma a priori non sufficiente per l'esistenza del prolungamento: uno dei casi più facilmente trattabili (tra cui il tuo) è quello in cui si trova una soluzione che è definita in modo naturale su $RR$ meno un numero finito di punti e che è $C^1$ su tutto il dominio, perciò basta controllare se lo è anche nei punti "problematici". Immagina però di aver trovato una soluzione in cui compare un arcoseno e di dover trovare un prolungamento oltre $(-1,1)$: già così è più complicato perché bisogna anche capire "cosa ci deve essere dall'altra parte", ma non ti saprei dare un esempio del genere...
Per quanto riguarda il caso generale, ti confesso che non ho molta familiarità con questi problemi, comunque quello che mi viene da dire è che la condizione del limite finito è necessaria per la continuità, ma a priori non sufficiente per l'esistenza del prolungamento: uno dei casi più facilmente trattabili (tra cui il tuo) è quello in cui si trova una soluzione che è definita in modo naturale su $RR$ meno un numero finito di punti e che è $C^1$ su tutto il dominio, perciò basta controllare se lo è anche nei punti "problematici". Immagina però di aver trovato una soluzione in cui compare un arcoseno e di dover trovare un prolungamento oltre $(-1,1)$: già così è più complicato perché bisogna anche capire "cosa ci deve essere dall'altra parte", ma non ti saprei dare un esempio del genere...
Capisco, grazie mille!
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