Problema di Cauchy, è corretto?

[innersmile-votailprof]

Per favore, potete dirmi se ho svolto correttamente questo esercizio?

${(y'''-4y'=e^(2x)),(y(0)=y'(0)=y''(0)=0):}$

$y'''-4y'=e^(2x)$
Considero l'omogenea: $\lambda^3-4\lambda=0 ->$
$ \lambda_1=-2;$
$ \lambda_2=0;$
$ \lambda_3=2$

$y(x)=c_1+c_2e^(-2x)+c_3e^(2x) + u(x)$

$u(x)= Axe^(2x)$
$u'(x)= Ae^(2x)+2Axe^(2x)$
$u''(x)= 2Ae^(2x)+2Ae^(2x)+4Axe^(2x)$
$u'''(x)= 4Ae^(2x)+4Ae^(2x)+4Ae^(2x)+8Axe^(2x)=12Ae^(2x)+8Axe^(2x)$

Ne consegue che $12Ae^(2x)+8Axe^(2x)-4Ae^(2x)-8Axe^(2x)=e^(2x)-> A=1/8$

$u(x)=1/8xe^(2x)$
Quindi ${(y(x)=c_1+c_2e^(-2x)+c_3e^(2x)+1/8xe^(2x)),(y'(x)=-2c_2e^(-2x)+2c_3e^(2x)+1/8x2e^(2x)+1/8e^(2x)),(y''(x)=4c_2e^(-2x)+4c_3e^(2x)+1/4x2e^(2x)+1/4e^(2x)+1/4e^(2x)):}$

Avrò che:
${(y(0)=c_1+c_2+c_3=0),(y'(0)=-2x_2+2c_3+1/8),(y''(0)=4c_2+4c_3+1/4+1/4):} ->{(c_1=...),(c_2=...),(c_3=...):}$
e li sostituisco in $y(x)$, esatto?

[djyoyo]

Non potevi applicare semplicemente la trasformata di Laplace? Io ho optato per quella strada (che mi sembra la più veloce) e con un po' di conti mi esce:

$y(t)= 1/8 H(t) -1/32 e^(-2t) -3/32 e^(2t) +1/8t^2 e^(2t)$

dove H(t) è il gradino.

[innersmile-votailprof]

"djyoyo":Non potevi applicare semplicemente la trasformata di Laplace? Io ho optato per quella strada (che mi sembra la più veloce) e con un po' di conti mi esce:

$y(t)= 1/8 H(t) -1/32 e^(-2t) -3/32 e^(2t) +1/8t^2 e^(2t)$

dove H(t) è il gradino.

non l'ho studiata, in cosa consiste?

[dissonance]

@innersmile: A meno dei conti che non ho controllato il procedimento è corretto. Hai usato il metodo della variazione delle costanti: volendo potevi far prima con il metodo di somiglianza, cercando direttamente una soluzione particolare $u(x)$ di una forma opportuna (in questo caso la forma opportuna è anche piuttosto semplice). Consulta questo pdf:

http://web.mate.polimi.it/viste/student ... amento=375

(cerca la dispensa "eqdifflin.pdf").

[gugo82]

@dissonance: C'è da correggere il link, mi sà...

[dissonance]

Grazie Gugo, fatto.