Problema di Cauchy e antitrasformata di Laplace
Salve a tutti! Mi piacerebbe avere il vostro aiuto su questo quesito. Sto preparando l'esame di Metodi Matematici e sto facendo i primi esercizi. Mi sono imbattuto nel seguente problema di Cauchy:
${ (y'' + 2y' + 5y = e^{-t}sin(2t)), (y'(0) = -1), (y(0) = 1) :}$
Ho fatto la trasformata di Laplace di tutti i termini (vi risparmio i passaggi, perché sono davvero lunghi) e sono giunto alla seguente espressione, che ora dovrei anti-trasformare:
\( X(s) = \frac{2}{\left[\left(s+1\right)^{2}+4\right]^{2}} \)
Ora, se il denominatore non fosse elevato al quadrato, saprei che quell'espressione è una trasformata "notevole":
\( \mathcal{L}\left[u(t) e^{\sigma t} sin(\omega t)\right]= \frac{\omega}{\left(s - \sigma \right)^{2} + \omega^{2}} \)
e varrebbe:
\( \mathcal{L}^{-1}\left[X(s)\right] = x(t) = u(t)e^{-t}sin(2t) \)
Ma con quel quadrato al denominatore? Devo svolgere tutto l'integrale di anti-trasformazione per arrivare al risultato o c'è un modo con cui ci posso arrivare più facilmente, sfruttando qualche trasformata notevole come quella che ho citato, che io non riesco a vedere?
${ (y'' + 2y' + 5y = e^{-t}sin(2t)), (y'(0) = -1), (y(0) = 1) :}$
Ho fatto la trasformata di Laplace di tutti i termini (vi risparmio i passaggi, perché sono davvero lunghi) e sono giunto alla seguente espressione, che ora dovrei anti-trasformare:
\( X(s) = \frac{2}{\left[\left(s+1\right)^{2}+4\right]^{2}} \)
Ora, se il denominatore non fosse elevato al quadrato, saprei che quell'espressione è una trasformata "notevole":
\( \mathcal{L}\left[u(t) e^{\sigma t} sin(\omega t)\right]= \frac{\omega}{\left(s - \sigma \right)^{2} + \omega^{2}} \)
e varrebbe:
\( \mathcal{L}^{-1}\left[X(s)\right] = x(t) = u(t)e^{-t}sin(2t) \)
Ma con quel quadrato al denominatore? Devo svolgere tutto l'integrale di anti-trasformazione per arrivare al risultato o c'è un modo con cui ci posso arrivare più facilmente, sfruttando qualche trasformata notevole come quella che ho citato, che io non riesco a vedere?
Risposte
La tua $X(s)$ è proprio la derivata (con qualche aggiustamento) di quello che ti piacerebbe vedere scritto.
Qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformat ... riet.C3.A0
cercando un po', trovi a cosa corrisponde, nel dominio del tempo, la derivazione nel dominio della frequenza complessa $s$.
Qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Trasformat ... riet.C3.A0
cercando un po', trovi a cosa corrisponde, nel dominio del tempo, la derivazione nel dominio della frequenza complessa $s$.
Ok, ti ringrazio per il suggerimento. La proprietà che dovrebbe interessarmi è quella per cui:
\( \mathcal{L}\left[tf(t)\right] = -\mathcal{L}\left[f(t)\right] '(s) \)
Tenendo in mente questa cosa, facendo qualche conto, ho ottenuto che:
\( X(s) = \left(\frac{2}{\left(s+1\right)^{2}+4}\right)' \left[-2\left(s+1\right)\right] \)
Ma c'è ancora quell' \( (s+1) \) che mi dà fastidio (credo). Forse ci sono davvero vicino e non me ne rendo conto, perché magari sono all'inizio, ma mi servirebbe un'altra piccola spinta.
\( \mathcal{L}\left[tf(t)\right] = -\mathcal{L}\left[f(t)\right] '(s) \)
Tenendo in mente questa cosa, facendo qualche conto, ho ottenuto che:
\( X(s) = \left(\frac{2}{\left(s+1\right)^{2}+4}\right)' \left[-2\left(s+1\right)\right] \)
Ma c'è ancora quell' \( (s+1) \) che mi dà fastidio (credo). Forse ci sono davvero vicino e non me ne rendo conto, perché magari sono all'inizio, ma mi servirebbe un'altra piccola spinta.
La quantità $(s+1)$ non è affatto un problema se conosci il teorema dello shifting o della traslazione. Riguardatela è una proprietà notevole della trasformata di Laplace
Ti riferisci alla proprietà per cui:
\( \mathcal{L}\left[e^{s_{0}t}x(t)\right] = X(s-s_{0}) \) ?
Perché, anche in questo caso, ancora non vedo la soluzione.
Ho capito che il primo fattore è la derivata di una trasformata notevole, per cui, anti-trasformando, sarebbe uguale a \( -tx(t) \), ma come devo interpretare il secondo fattore \( \left[-2(s+1)\right] \)? Che ruolo gioca, nell'anti-trasformata?
\( \mathcal{L}\left[e^{s_{0}t}x(t)\right] = X(s-s_{0}) \) ?
Perché, anche in questo caso, ancora non vedo la soluzione.
"Regulus":
\( X(s) = \left(\frac{2}{\left(s+1\right)^{2}+4}\right)' \left[-2\left(s+1\right)\right] \)
Ho capito che il primo fattore è la derivata di una trasformata notevole, per cui, anti-trasformando, sarebbe uguale a \( -tx(t) \), ma come devo interpretare il secondo fattore \( \left[-2(s+1)\right] \)? Che ruolo gioca, nell'anti-trasformata?
Up!
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