Problema di Cauchy, dubbio risoluzione
L'equazione è y'=$2y^3sqrt(t-1)$
Bisogna risolvere il problema di Cauchy con condizione iniziale y(2)=0 specificando l'insieme di definizione della soluzione trovata. Il professore l'ha risolto dicendo che per il teorema di esistenza e unicità nell'intorno di (2,0) esiste un'unica soluzione in R ed y=0 è la soluzione.
Ma svolgendolo analogicamente come dovrebbe essere? Perché ho provato ma come risultato ottengo $y=x^3-3x^2+3x+1$
Bisogna risolvere il problema di Cauchy con condizione iniziale y(2)=0 specificando l'insieme di definizione della soluzione trovata. Il professore l'ha risolto dicendo che per il teorema di esistenza e unicità nell'intorno di (2,0) esiste un'unica soluzione in R ed y=0 è la soluzione.
Ma svolgendolo analogicamente come dovrebbe essere? Perché ho provato ma come risultato ottengo $y=x^3-3x^2+3x+1$
Risposte
praticamente un cubo di trinomio
puoi postare i tuoi passaggi ?
puoi postare i tuoi passaggi ?
Io ho risolto così:
$sqrt(t-1) = (y')/(2y^3)$
Poi ho integrato entrambi, ottenendo $-1/4y^(-2)=2/3sqrt(x^3-3x^2+3x-1)$
Ho esplicitato $y=sqrt(8/3) (x^3-3x^2+3x-1) +c $
Ho sostituito la y con 0 e la x con 2
$sqrt(t-1) = (y')/(2y^3)$
Poi ho integrato entrambi, ottenendo $-1/4y^(-2)=2/3sqrt(x^3-3x^2+3x-1)$
Ho esplicitato $y=sqrt(8/3) (x^3-3x^2+3x-1) +c $
Ho sostituito la y con 0 e la x con 2
scusa,non avevo visto bene la condizione iniziale
il tuo prof ha ragione : la soluzione è semplicemente $y=0$ per il teorema di esistenza e unicità
non si risolve separando le variabili perchè per far ciò la $y$ dovrebbe essere sempre diversa da zero
p.s. è facile vedere che $y=0$ soddisfa sia l'equazione che la condizione iniziale
il tuo prof ha ragione : la soluzione è semplicemente $y=0$ per il teorema di esistenza e unicità
non si risolve separando le variabili perchè per far ciò la $y$ dovrebbe essere sempre diversa da zero
p.s. è facile vedere che $y=0$ soddisfa sia l'equazione che la condizione iniziale
Ma la y in questo caso non è diversa da 0?
no,perchè dovendo soddisfare la condizione iniziale si deve annullare in $x=2$
Quindi lo stesso ragionamento vale se ho per esempio $y'=2t^2sqrt(y-1)$ con condizione y(0)=2?
scusa,ma l'esempio che hai riportato non ha alcuna affinità con il tuo esercizio
qui si risolve separando le variabili
qui si risolve separando le variabili
Scusami ancora, non ho capito esattamente in che modo ragionare... Ritorno al primo esempio, la mia condizione era y(2)=0 quindi io dovrei sostituire nell'equazione che mi viene data rispettivamente y=0 e x=2?
no ,dovevi con un po' d'occhio osservare che la funzione $y=0$ soddisfa l'equazione
infatti hai $0=2cdot 0 cdot sqrt(t-1)$
inoltre è ovvio che che $y(2)=0$,essendo la funzione nulla ovunque
quindi $y=0$ risolve il problema di Cauchy
per il teorema di esistenza e unicità,non ci sono altre soluzioni
infatti hai $0=2cdot 0 cdot sqrt(t-1)$
inoltre è ovvio che che $y(2)=0$,essendo la funzione nulla ovunque
quindi $y=0$ risolve il problema di Cauchy
per il teorema di esistenza e unicità,non ci sono altre soluzioni
Quindi se io avessi avuto nella seconda equazione la condizione y(0)=1 potevo già scrivere che l'equazione era verificata per y=1 perché sostituendo ottengo l'identità 0=0?
sì,anche se in quel caso,essendoci la radice ,bisognava verificare con più attenzione se valessero le ipotesi che assicurano l'unicità della soluzione
il problema di Cauchy $ { ( y'=t^2(y-1) ),( y(0)=1 ):} $ ,ad esempio,ha sicuramente come unica soluzione $y=1$
il problema di Cauchy $ { ( y'=t^2(y-1) ),( y(0)=1 ):} $ ,ad esempio,ha sicuramente come unica soluzione $y=1$
E se dovessi verificare con più attenzione le ipotesi in che modo potrei agire?
se vuoi soddisfare questa tua legittima curiosità,ti consiglio prima di studiare il concetto di funzione lipschitziana e poi di reperire su un qualsiasi testo il teorema di esistenza e unicità
Ho risolto il problema di Cauchy y'=$2t^3sqrt(y-1)$ con y(0)=2 e come risultato ottengo $y=(1/4t^4)^2+2$. Mi viene chiesto di specificare l'insieme di definizione della soluzione trovata. È giusto affermare che è tutto R?
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