Problema di Cauchy - dove è che sbaglio?
$\{(y'=y-y^2),(y(0)=1/2):}$
separo le variabili $\int1/(y(1-y))dy=\intdx$
il primo membro viene $\int1/ydy+\int1/(1-y)dy=-ln(y)+ln((y-1)/y)=-ln((y-1)/y)$
il secondo membro viene x
poi faccio $ln((y-1)/y)=x rArr (y-1)/y=e^x rArr y=1/(1-e^x)
ma se sostituisco non viene giusta.... cosa sbaglio? ci sono altre soluzioni?
[mod="Tipper"]Modificato il titolo.[/mod]
separo le variabili $\int1/(y(1-y))dy=\intdx$
il primo membro viene $\int1/ydy+\int1/(1-y)dy=-ln(y)+ln((y-1)/y)=-ln((y-1)/y)$
il secondo membro viene x
poi faccio $ln((y-1)/y)=x rArr (y-1)/y=e^x rArr y=1/(1-e^x)
ma se sostituisco non viene giusta.... cosa sbaglio? ci sono altre soluzioni?
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Risposte
A me viene $int1/ydy$ + $int1/(1-y)$ = $log|y|-log|1-y|=x$, poi andando avanti alla fine viene $y=e^x/(1+e^x)$, sostituendo questa espressione in quella di partenza a me risulta esatta a meno di errori nei calcoli 
.
Ciao
.Ciao
scusa come lo risolvi l'integrale?
$int1/ydy=log|y|$ e $int1/(1-y)=-log(1-y)$ perchè essendo la derivata di 1-y = -1 allora l'integrale può essere trasformato come $int1/(1-y)=-int-1/(1-y)$ che dà come risultato $-log|1-y|$
scusa.... a me vien al primo membro $\int-1/y dy+\int1/(y-1)dy$ e quindi alla fine $-ln(y)+....$
per risolvere l'integrale ho visto che le radici di $y(1-y)$ sono zero e uno... $rArr 1/y(1-y)=A/y+B/y-1 rArr Ay-A+By=(A+B)y-A rArr \{(A=-1),(B=1):}$
e l'iintegrale mi viene alla fine $\int-1/y dy+\int1/(y-1)dy = ln((y-1)/y)$ e proseguendo i calcoli mi viene $y=1/(1-e^x)$
P.S. scusa ma nei precedenti post ho fatto degli errori di confusione e distrazione....
per risolvere l'integrale ho visto che le radici di $y(1-y)$ sono zero e uno... $rArr 1/y(1-y)=A/y+B/y-1 rArr Ay-A+By=(A+B)y-A rArr \{(A=-1),(B=1):}$
e l'iintegrale mi viene alla fine $\int-1/y dy+\int1/(y-1)dy = ln((y-1)/y)$ e proseguendo i calcoli mi viene $y=1/(1-e^x)$
P.S. scusa ma nei precedenti post ho fatto degli errori di confusione e distrazione....
$y'=y-y^2$
$(y')/(y(1-y))=1$
Osserviamo che:
$A/y+B/(1-y)=(A-Ay+By)/(y(1-y)) rightarrow {(A=1), (B=1):}$
Allora il resto segue come ha scritto giustamente frodo4...
$(y')/(y(1-y))=1$
Osserviamo che:
$A/y+B/(1-y)=(A-Ay+By)/(y(1-y)) rightarrow {(A=1), (B=1):}$
Allora il resto segue come ha scritto giustamente frodo4...
facendo così ok.... ma la formula non è così : $A/(y-y_1)+B/(y-y_2)$ e quindi se le radici sono 0 e 1 ai denominatori viene in uno $y$ e nell'altro $y-1$?
A te basta spezzare la frazione in frazioni singole. Non è necessario che tu abbia $y$ sempre con segno positivo anche $1-y$ va benissimo!
quindi non c'è una formula precisa... basta che il prodotto dei denominatori sia uguale al denominatore.... giusto?
scusate le troppe domande e grazie!
scusate le troppe domande e grazie!
Nessun problema. Non c'è una formula precisa, ma un RAGIONAMENTO preciso!
Scomponi il denominatore in fattori irriducibili o convenienti per il calcolo:
$1/(y(1-y))= ([...])/y + ([...])/(1-y)$
e poi lo scrivi come somma di frazioni
Fissi i numeratori con un polinomio di grado uguale a quello del proprio denominatore meno 1:
$1/(y(1-y))= A/y + B/(1-y)$
e poi fai quadrare il tutto facendo vedere mediante sistema che la frazione iniiale è rimasta la stessa.
$1/(y(1-y))= A/y + B/(1-y) = (A(1-y)+By)/(y(1-y)) rightarrow {(A=1),(-A+B=0):} rightarrow {(A=1),(B=1):}$
E poi giungi al risultato:
$1/(y(1-y))= 1/y + 1/(1-y)$
Scomponi il denominatore in fattori irriducibili o convenienti per il calcolo:
$1/(y(1-y))= ([...])/y + ([...])/(1-y)$
e poi lo scrivi come somma di frazioni
Fissi i numeratori con un polinomio di grado uguale a quello del proprio denominatore meno 1:
$1/(y(1-y))= A/y + B/(1-y)$
e poi fai quadrare il tutto facendo vedere mediante sistema che la frazione iniiale è rimasta la stessa.
$1/(y(1-y))= A/y + B/(1-y) = (A(1-y)+By)/(y(1-y)) rightarrow {(A=1),(-A+B=0):} rightarrow {(A=1),(B=1):}$
E poi giungi al risultato:
$1/(y(1-y))= 1/y + 1/(1-y)$
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