Problema di cauchy di secondo ordine, dubbio soluzione
Ciao, ho un piccolo problema con un esercizio:
${(y''-4y=0),(y(0)=2),(y'(0)=0):}$
Come prima cosa studio l'omogenea, trovandomi $a_1, a_2$ del polinomio caratteristico: $a_1=0, a_2=4$
Quindi scrivo l'equazione della soluzione omogenea:
$y_o(x)= C_1e^x+C_2e^(4x)$, ora, dato che la mia equazione di partenza è omogenea non dovro' cercare alcuna soluzione particolare, (ossia, la mia soluzione $y(x)=y_o +y_p$ diventa semplicemente $y(x)=y_o + y_p =y_o$, posso quindi semplicemente applicare le mie condizioni iniziali:
$y(0)=2=C_1+C_2$
Ora derivo la mia soluzione dell'omogenea: $y_o'(x)= 4C_2e^(4x)$, inserisco la seconda condizione:
$y'(0)=0=4C_2$ e mettendo a sistema: ${(2=C_1+C_2),(0=C_2):}$ ottengo $C_1=0, C_2=-0$ e rimessi nella mia soluzione generale:
$y(x)=C_1e^x+C_2e^(4x) = 2e^x
$ no?
${(y''-4y=0),(y(0)=2),(y'(0)=0):}$
Come prima cosa studio l'omogenea, trovandomi $a_1, a_2$ del polinomio caratteristico: $a_1=0, a_2=4$
Quindi scrivo l'equazione della soluzione omogenea:
$y_o(x)= C_1e^x+C_2e^(4x)$, ora, dato che la mia equazione di partenza è omogenea non dovro' cercare alcuna soluzione particolare, (ossia, la mia soluzione $y(x)=y_o +y_p$ diventa semplicemente $y(x)=y_o + y_p =y_o$, posso quindi semplicemente applicare le mie condizioni iniziali:
$y(0)=2=C_1+C_2$
Ora derivo la mia soluzione dell'omogenea: $y_o'(x)= 4C_2e^(4x)$, inserisco la seconda condizione:
$y'(0)=0=4C_2$ e mettendo a sistema: ${(2=C_1+C_2),(0=C_2):}$ ottengo $C_1=0, C_2=-0$ e rimessi nella mia soluzione generale:
$y(x)=C_1e^x+C_2e^(4x) = 2e^x
$ no?
Risposte
La soluzione dell'omogenea è sbagliata.
hmmm...
trovati $a_1=0, a_2=4$ avro una $y_o$ della forma $y_o(x)=c_1e^(a_1x)+c_2e^(a_2x) = c_1e^(0*x)+c_2e^(4*x)= c_1+c_2e^(4x)$ no ?
trovati $a_1=0, a_2=4$ avro una $y_o$ della forma $y_o(x)=c_1e^(a_1x)+c_2e^(a_2x) = c_1e^(0*x)+c_2e^(4*x)= c_1+c_2e^(4x)$ no ?
No, non è così che funziona.
$y''-4y=0=> lambda^2-4=0 => lambda=+-2=> y(x)=c_1 e^(2x)+c_2 e^(-2x)$
$y''-4y=0=> lambda^2-4=0 => lambda=+-2=> y(x)=c_1 e^(2x)+c_2 e^(-2x)$
Allora io ho gli appunti errati!.
Mi sa di aver capito, ora.
se fosse stato $y''+2y'+5y=0$ allora avrei avuto $a^2+2a+5=0$, giusto?
A me sembra che così la cosa funzioni meglio... in effetti, nel mio esercizio mancava la $y'$.
Grazie mille. Gentilissimo!
Mi sa di aver capito, ora.
se fosse stato $y''+2y'+5y=0$ allora avrei avuto $a^2+2a+5=0$, giusto?
A me sembra che così la cosa funzioni meglio... in effetti, nel mio esercizio mancava la $y'$.
Grazie mille. Gentilissimo!
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