Problema di Cauchy di secondo ordine con f(t)=(at+b) * e^t

[autovettore89]

Salve, ho provato a svolgere piu volte questo esercizio ma non riesco mai a giungere alla soluzione..

essendo f(t) un prodotto tra un polinomio e un esponenziale dopo aver trovato che il delta dell'omogenea associata è uguale a 0 e che 3 è soluzione doppia dell'omogenea posso dire che una soluzione particolare sarà del tipo:

$s(t)=(at+b)*t^2*e^t=(a*t^3*e^(3t))+(b*t^2*e^(3t))$

derivando 2 volte..

$s'(t)=(3a*t^2*e^(3t))+(3a*t^3*e^(3t))+(2b*t*e^(3t))+(3b*t^2*e^(3t))$

$s''(t)=(9a*t^3*e^(3t))+((18a+9b)*t^2*e^(3t)+(6a+12b)*t*e^(3t))+(2b*e^(3t))

solo che ora non riesco a costruirmi il sistema per determinare "a" e "b".. spero di non aver sbagliato con la soluzione particolare..

ringrazio in anticipo per le dritte!

[cntrone]

la soluzione particolare è corretta..

le derivate sono un pò incasinate e non le ho viste..però se fai bene i calcoli basta poi andare a sostituire tutto nell'eq.

il termine $e^(3t)$ scompare..

quindi entrambi i membri saranno polinomi..

basta mettere a sistema i coefficenti degli stessi per ricavare a e b..

se non hai capito chiedi

[autovettore89]

ma l'equazione va posta così??

$s''(t)-6s'(t)+9s(t)=[(1)t+(0)]*e^(3t)$

quindi il coefficiente della t del primo membro va posto uguale a 1 e il termine noto del primo membro uguale a 0?

[cntrone]

"autovettore89":ma l'equazione va posta così??

$s''(t)-6s'(t)+9s(t)=[(1)t+(0)]*e^(3t)$

quindi il coefficiente della t del primo membro va posto uguale a 1 e il termine noto del primo membro uguale a 0?

si..in teoria bisogna farlo per tutti i coefficenti..ma essendo solo due le incognite ti bastano due equazioni a sistema..

[*CyberCrasher]

Ciao ecco la soluzione al tuo esercizio. Spero possa esserti utile
(uso la x al posto della t.. preferisco )

${(y'' -6y'+9y=xe^(3x)),(y(0)=0),(y'(0)=0):}$

$lambda^2-6lambda+9=0 -> (lambda-3)^2=0 -> lambda_1=lambda_2=3$

da cui ricavo anticipatamente:
$y_1=e^(lambda_1x)=e^(3x) -> y'_1=3e^(3x)$
$y_2=xe^(lambda_2x)=xe^(3x) -> y'_2=(3x+1)e^(3x)$

così sviluppo il sistema:
${(C'_1e^(3x)+C'_2xe^(3x)=0),(C'_1 3e^(3x)+C'_2(3x+1)e^(3x)=xe^(3x)):} -> {(C'_1=-x^2),(C'_2=x):} -> {(C_1=-1/3x^3),(C_2=1/2x^2):}$

adesso posso ricavare y(x):

$y(x)=alphae^(3x)+betaxe^(3x)-1/3x^3e^(3x)+1/2x^3e^(3x) = e^(3x)(1/6x^3+betax+alpha)$

Adesso mi serve scoprire il valore di alpha e beta dunque sfrutto le altre 2 equazioni del sistema iniziale y(0) e y'(0) quindi:

$y(0)=alpha=0
$y'(0)=beta=0

sostituisco in y(x) e trovo $y(x)=e^(3x)1/6x^3$

Spero di aver scritto tutto in modo comprensibile