Problema di Cauchy di ODE del tipo $alpha cos x +beta sinx$
Salve a tutti,
vi pongo un problema che la mia docente di Analisi2 non è riuscita a risolvermi, concludendo di un possibile errore di traccia:
Risolvere il seguente problema di Cauchy:
${(y''+y=cosx),(y(0)=0):}$
Ora tralasciando il problema e concentrandoci sulla risoluzione dell'integrale particolare della ODE, NON utilizzando il metodo della variazione delle costanti, bensì quello di un'equazione del tipo $y(x)=alpha cosx+beta senx$ ho:
$bar y=alpha cosx+beta senx$
$bar y'=alpha senx+beta cos$
$bar y''=-alpha cosx-beta senx$
Sostituendo ho: $(alpha cosx+beta senx)+(-alpha cosx-beta senx)=cosx$ ovvero $cosx=0$ ciò è un assurdo a quanto detto dalla mia professoressa che TUTTE le equazioni del tipo $y(x)=alpha cosx+beta senx$ si potessero risolvere in questo modo; poichè in tale esempio non potrei calcolarmi le $alpha$ e $beta$, e quindi non riesco a trovare l'integrale particolare, che in ogni caso, si può trovare invece col metodo delle variazioni delle costanti (da me verificato).
Quindi la mia domanda è: quali sono le condizioni necessarie affinchè io possa applicare tale metodo?
Grazie anticipatamente per le gentili risposte.
Luca
vi pongo un problema che la mia docente di Analisi2 non è riuscita a risolvermi, concludendo di un possibile errore di traccia:
Risolvere il seguente problema di Cauchy:
${(y''+y=cosx),(y(0)=0):}$
Ora tralasciando il problema e concentrandoci sulla risoluzione dell'integrale particolare della ODE, NON utilizzando il metodo della variazione delle costanti, bensì quello di un'equazione del tipo $y(x)=alpha cosx+beta senx$ ho:
$bar y=alpha cosx+beta senx$
$bar y'=alpha senx+beta cos$
$bar y''=-alpha cosx-beta senx$
Sostituendo ho: $(alpha cosx+beta senx)+(-alpha cosx-beta senx)=cosx$ ovvero $cosx=0$ ciò è un assurdo a quanto detto dalla mia professoressa che TUTTE le equazioni del tipo $y(x)=alpha cosx+beta senx$ si potessero risolvere in questo modo; poichè in tale esempio non potrei calcolarmi le $alpha$ e $beta$, e quindi non riesco a trovare l'integrale particolare, che in ogni caso, si può trovare invece col metodo delle variazioni delle costanti (da me verificato).
Quindi la mia domanda è: quali sono le condizioni necessarie affinchè io possa applicare tale metodo?
Grazie anticipatamente per le gentili risposte.
Luca
Risposte
Hai verificato quali sia la soluzione generale dell'equazione omogenea associata?
La soluzione particolare dell'equazione completa deve essere linearmente indipendente dalla soluzione generale.
La soluzione particolare dell'equazione completa deve essere linearmente indipendente dalla soluzione generale.
Beh la generale è...
$y''+y=0$
$lambda^2+1=0$
$lambda^2=-1$
$lambda=pmi$
$y=cosx+senx$
non ho capito, io non riesco ad arrivare alla soluzione particolare, QUELLO è il problema!
Grazie mille lo stesso, Luca.
$y''+y=0$
$lambda^2+1=0$
$lambda^2=-1$
$lambda=pmi$
$y=cosx+senx$
non ho capito, io non riesco ad arrivare alla soluzione particolare, QUELLO è il problema!Grazie mille lo stesso, Luca.
Ritengo tu debba cercare una soluzione particolare del tipo $Ax cosx +Bx senx $ , linearmente indipendente dalla soluzione generale dell'omogenea.
Anch'io ritengo.
Siamo di fronte ad un parere condiviso da tutti gli analisti del forum.
Aggiungo, alla considerazione di Camillo su cosa va fatto, che una funzione che sia combinazione lineare di seni e coseni non sarà mai soluzione della non omogenea, visto che è soluzione dell'omogenea.
In questo thread (un po' allucinante per colpa mia):
https://www.matematicamente.it/forum/equ ... 27762.html
c'è un post con link utili:
https://www.matematicamente.it/forum/equ ... tml#213320
tra cui il più utile è quello indicato da Camillo
In questo thread (un po' allucinante per colpa mia):
https://www.matematicamente.it/forum/equ ... 27762.html
c'è un post con link utili:
https://www.matematicamente.it/forum/equ ... tml#213320
tra cui il più utile è quello indicato da Camillo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo