Problema di Cauchy da risolvere con le trasformate di Laplace...
Salve a tutti ragazzi, avrei un problema! Vi allego il testo dell'esercizio...
Ho provato a risolverlo ma ho capito subito che non è affatto immediato... Mi spiego meglio, posto la mia risoluzione, fin dove sono riuscito a proseguire...
Sia $f(s)=L(q(t))(s)$
$L((dq)/dt)(s)=sf(s)$
$L((d^2q)/dt^2)(s)=s^2f(s)$
Trasformando l'equazione differenziale del problema iniziale si ottiene:
$s^2f(s)+2alphaomegasf(s)+omega^2f(s)=B(s)$ avendo posto
$b(t)=sintchi(t)$ e $B(s)=L(b(t))(s)$
La funzione di trasferimento è quindi $S(s)=1/(s^2+2alphaomegas+omega^2$
Per ricavare l'espressione di $q(t)$ si deve operare così:
$q(t)=L^(-1)(S(s))(t)**b(t)$ ove $**$ indica il prodotto di convoluzione... E qui iniziano i guai!
Il $Delta$ dell'equazione $s^2+2alphaomegas+omega^2=0$ vale:
$Delta=4omega^2(alpha^2-1)$
Si devono distinguere quindi due casi... $alpha=1$ e $alpha>1$...
Nel momento in cui poi si svolgono gli integrali dei prodotti di convoluzione spuntano integrali di una variabile tutt'altro che immediati e parecchio laboriosi... Inoltre, la presenza della funzione caratteristica introduce altri due sotto-casi!
In poche parole, per svolgere in questo modo questo esercizio ci vorrebbero delle ore! Ed essendo un testo d'esame non credo proprio che sia possibile...
Sto sbagliando qualcosa? Ci sono dei metodi più rapidi? Aiutatemi, sono nel pallone!!
Ho provato a risolverlo ma ho capito subito che non è affatto immediato... Mi spiego meglio, posto la mia risoluzione, fin dove sono riuscito a proseguire...
Sia $f(s)=L(q(t))(s)$
$L((dq)/dt)(s)=sf(s)$
$L((d^2q)/dt^2)(s)=s^2f(s)$
Trasformando l'equazione differenziale del problema iniziale si ottiene:
$s^2f(s)+2alphaomegasf(s)+omega^2f(s)=B(s)$ avendo posto
$b(t)=sintchi(t)$ e $B(s)=L(b(t))(s)$
La funzione di trasferimento è quindi $S(s)=1/(s^2+2alphaomegas+omega^2$
Per ricavare l'espressione di $q(t)$ si deve operare così:
$q(t)=L^(-1)(S(s))(t)**b(t)$ ove $**$ indica il prodotto di convoluzione... E qui iniziano i guai!
Il $Delta$ dell'equazione $s^2+2alphaomegas+omega^2=0$ vale:
$Delta=4omega^2(alpha^2-1)$
Si devono distinguere quindi due casi... $alpha=1$ e $alpha>1$...
Nel momento in cui poi si svolgono gli integrali dei prodotti di convoluzione spuntano integrali di una variabile tutt'altro che immediati e parecchio laboriosi... Inoltre, la presenza della funzione caratteristica introduce altri due sotto-casi!
In poche parole, per svolgere in questo modo questo esercizio ci vorrebbero delle ore! Ed essendo un testo d'esame non credo proprio che sia possibile...
Sto sbagliando qualcosa? Ci sono dei metodi più rapidi? Aiutatemi, sono nel pallone!!
Risposte
UP!!
up
Non so perchè hai tirato dentro la convoluzione che non c'entra nulla.
Il termine noto è $\sint\ \chi_([0,2])$ che vuol dire la normale funzione seno "mascherata" con una finestra da 0 a 2.
In pratica
$\sint\ \chi_([0,2]) = {(\sint, 0\let\le2),(0, 2
Quindi le tratti come due funzioni separate, che vanno poi sommate.
Quindi hai due problemi di Cauchy, il primo quello che ti è stato dato, lo risolvi togliendo la restrizione della finestra $\chi$.
Il secondo problema ha il termine noto a zero e le condizioni iniziali sono prese dalla soluzione del primo problema a $t=2$.
Per chiarire:
il primo pdCauchy
${((d^2Q)/(dt^2)+2\alpha\omega(dQ)/(dt)+\omega^2= \sin t),(Q(0)=(dQ)/(dt)(0)=0):}$
lo risolvi così tranquillamente.
Poi calcoli
$A=Q(2)$
$B=(dQ)/(dt)(2)$
quindi risolvi un secondo pdCauchy
${((d^2Q_1)/(dt^2)+2\alpha\omega(dQ_1)/(dt)+\omega^2= 0),(Q_1(0)=A; (dQ_1)/(dt)(0)=B):}$
Quindi la tua soluzione sarà
$Q\chi_([0,2])+Q_1(t-2)\chi_((2,oo])$
Il termine noto è $\sint\ \chi_([0,2])$ che vuol dire la normale funzione seno "mascherata" con una finestra da 0 a 2.
In pratica
$\sint\ \chi_([0,2]) = {(\sint, 0\let\le2),(0, 2
Quindi le tratti come due funzioni separate, che vanno poi sommate.
Quindi hai due problemi di Cauchy, il primo quello che ti è stato dato, lo risolvi togliendo la restrizione della finestra $\chi$.
Il secondo problema ha il termine noto a zero e le condizioni iniziali sono prese dalla soluzione del primo problema a $t=2$.
Per chiarire:
il primo pdCauchy
${((d^2Q)/(dt^2)+2\alpha\omega(dQ)/(dt)+\omega^2= \sin t),(Q(0)=(dQ)/(dt)(0)=0):}$
lo risolvi così tranquillamente.
Poi calcoli
$A=Q(2)$
$B=(dQ)/(dt)(2)$
quindi risolvi un secondo pdCauchy
${((d^2Q_1)/(dt^2)+2\alpha\omega(dQ_1)/(dt)+\omega^2= 0),(Q_1(0)=A; (dQ_1)/(dt)(0)=B):}$
Quindi la tua soluzione sarà
$Q\chi_([0,2])+Q_1(t-2)\chi_((2,oo])$
Grazie mille per la risposta Quinzio! Quindi, se ho ben capito, nel caso in cui a secondo membro dell'equazione differenziale figuri una funzione che varia la propria legge al variare di t si devono calcolare separatamente le soluzioni nei vari intervalli e quindi sommarle... è corretto?
Nel secondo problema di Cauchy che hai scritto, il termine noto non dovrebbe essere 0?
Si, il termine noto è zero, ho corretto.
La trasformata è lineare, quindi si può sempre sommare e moltiplicare.
La trasformata è lineare, quindi si può sempre sommare e moltiplicare.
Ciao Quinzio, grazie ancora per la disponibilità. Oggi ho fatto vedere al prof. l'esercizio svolto come hai suggerito tu e ha detto che tale metodo è errato, ma non ho ben capito il perché (in realtà mi ha lasciato piuttosto perplesso...)
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