Problema di Cauchy - Costante c
Ciao ragazzi perdonatemi per la centesima domanda ma ho bisogno di voi. Parliamo di equazioni differenziali.
Iniziamo col problema di Cauchy di una equzione differenziale di primo grado. Cosa sappiamo:
-Beh sappiamo che la funzione particolare che vogliamo trovare deve risolvere l'equazione $ y'=F(t,y) $(che, correggetemi se sbaglio, si traduce in un'equazione del tipo $ y'=epsilon y $)
-La stessa soluzione deve soddisfare la condizione iniziale $ y(t_0)=y_0 $
Perfetto, tutto chiaro fin qui. I problemi arrivano ora
$ { ( y'=epsilony ),( y(0)=y_0 ):} $ Ecco, perchè il nostro $ t_0 $ diventa 0?
In queste circostanze mi calcolo il mio integrale generale che è dato da:
$y(t,c)=ce^(epsilont)$ e poi non comprendo per quale motivo sostituisco la mia $c$ con $y_o$ della condizione iniziale.
Quindi il mio integrale che suppongo sia ora particolare diventa $y(t)=y_oe^(epsilont)$.
Le domande sono:
1)Le due scritture $ y'=F(t,y) $ e $ y'=epsilon y $ sono equivalenti?
2)Perchè $t_0 =0$?
3)Perchè $c=y_o$?
Iniziamo col problema di Cauchy di una equzione differenziale di primo grado. Cosa sappiamo:
-Beh sappiamo che la funzione particolare che vogliamo trovare deve risolvere l'equazione $ y'=F(t,y) $(che, correggetemi se sbaglio, si traduce in un'equazione del tipo $ y'=epsilon y $)
-La stessa soluzione deve soddisfare la condizione iniziale $ y(t_0)=y_0 $
Perfetto, tutto chiaro fin qui. I problemi arrivano ora
$ { ( y'=epsilony ),( y(0)=y_0 ):} $ Ecco, perchè il nostro $ t_0 $ diventa 0?
In queste circostanze mi calcolo il mio integrale generale che è dato da:
$y(t,c)=ce^(epsilont)$ e poi non comprendo per quale motivo sostituisco la mia $c$ con $y_o$ della condizione iniziale.
Quindi il mio integrale che suppongo sia ora particolare diventa $y(t)=y_oe^(epsilont)$.
Le domande sono:
1)Le due scritture $ y'=F(t,y) $ e $ y'=epsilon y $ sono equivalenti?
2)Perchè $t_0 =0$?
3)Perchè $c=y_o$?
Risposte
Le risposte sono:
1) No. La prima è una scrittura generale, la seconda un caso particolare, ovvero il coefficiente è costante, ma potrebbe contenere la variabile $t$.
2) $t_0$ è un valore fissato delle variabile t, per risolvere il problema devi avere un particolare valore di $t_0$ che, nel caso, è $0$
3) l'equazione generale trovata deve soddisfare l'equazione particolare, appunto $y(0)=y_0$, sostituisci a t il valore 0 $y(0)=ce^(epsilon*0)=y_0$
1) No. La prima è una scrittura generale, la seconda un caso particolare, ovvero il coefficiente è costante, ma potrebbe contenere la variabile $t$.
2) $t_0$ è un valore fissato delle variabile t, per risolvere il problema devi avere un particolare valore di $t_0$ che, nel caso, è $0$
3) l'equazione generale trovata deve soddisfare l'equazione particolare, appunto $y(0)=y_0$, sostituisci a t il valore 0 $y(0)=ce^(epsilon*0)=y_0$
1)Puoi mostrarmi come si scrive $ y'=F(t,y) $?
Sono stato assente alle lezioni sulle equazioni differenziali e perciò non ci sto capendo molto..Su internet peggio di peggio.
2)Ho notato che anche nella dimostrazione di ricerca dell'integrale generale di un'equazione lineare del primo ordine ho $c=y_0$, quindi suppongo sia una cosa normale usare $t_0=0$. Mi sai dire da cosa dipende questo fatto?
PS. Se hai qualche fonte da cui studiare le equazioni differenziali (adatta a gente come me che non sa nemmeno come scriverle
) me la puoi riportare?
Grazie!
Sono stato assente alle lezioni sulle equazioni differenziali e perciò non ci sto capendo molto..Su internet peggio di peggio.
2)Ho notato che anche nella dimostrazione di ricerca dell'integrale generale di un'equazione lineare del primo ordine ho $c=y_0$, quindi suppongo sia una cosa normale usare $t_0=0$. Mi sai dire da cosa dipende questo fatto?
PS. Se hai qualche fonte da cui studiare le equazioni differenziali (adatta a gente come me che non sa nemmeno come scriverle
) me la puoi riportare?Grazie!
"bravapersona":
1)Puoi mostrarmi come si scrive $ y'=F(t,y) $?
Sono stato assente alle lezioni sulle equazioni differenziali e perciò non ci sto capendo molto..Su internet peggio di peggio.
[...]
PS. Se hai qualche fonte da cui studiare le equazioni differenziali (adatta a gente come me che non sa nemmeno come scriverle
Il tuo libro di testo che dice?
Quale stai usando?
"bravapersona":
2)Ho notato che anche nella dimostrazione di ricerca dell'integrale generale di un'equazione lineare del primo ordine ho $c=y_0$, quindi suppongo sia una cosa normale usare $t_0=0$. Mi sai dire da cosa dipende questo fatto?
Di solito sono ipotesi semplificative (per non complicare i conti) che si possono giustificare ricorrendo a cambiamenti di coordinate.
Però dovrei capire il docente come ha impostato la cosa.
Allora uso Bramanti Pagani Salsa Analisi Matematica 2.
Ora ti mostro la dimostrazione(ti prego di correggermi ad ogni passaggio o scrittura errata):
Sappiamo che l'integrale completo di una lineare del primo ordine si ottiene sommando l'integrale particolare all'integrale generale dell'omogenea associata.
Quindi troviamo prima l'integrale generale dell'omogenea che dovrebbe essere del tipo $y'=a(t)y$.
Posto $y!=0$ si ha $int (y')/y dt=int a(t)dt$ da cui $log|y|=A(t)+k$ dove A(t) rappresenta la primitiva di a(t).
Quindi abbiamo $y=e^(A(t)+k)=e^(A(t))e^k=ce^(A(t))$ che dovrebbe essere quindi l'integrale generale dell'omogenea associata alla nostra equazione differenziale.
1)Ora dobbiamo trovare la particolare e qui ho un piccolo dubbio:
Il teorema dice "L'integrale completo di una lineare del primo ordine si ottiene sommando l'integrale particolare all'integrale generale dell'omogenea associata"; ma io per trovare l'integrale particolare ho bisogno necessariamente dell'integrale completo!
Comunque andiamo avanti: dobbiamo allora trovare l'integrale particolare della nostra equazione.
La nostra equazione è del tipo $y'=a(t)y+b(t)$ e ho appuntato che ho una soluzione di questo tipo: $varphi=c(t)e^(A(t))$.
2)Altro dubbio: perchè la soluzione deve avere quella forma?!
Vado a derivare $varphi'=c'(t)e^(A(t))+c(t)a(t)e^(A(t))$.
Sostituisco nell'equazione differenziale $varphi$ e $varphi'$ e ottengo $c'(t)e^A(t)=b(t)$ poichè i termini $c(t)a(t)e^(A(t))$ si sommano a zero.
Quindi $c'(t)=b(t)e^(-A(t))$ e $c(t)=int b(t)e^(-A(t))dt$.
Il nostro integrale generale quindi assume la forma $y=e^(A(t))(c+b(t)e^(-A(t))dt)$.
Ora per disfarmi della $c$ mi servo del problema di Cauchy:
Ho scritto :
$ { ( y'=a(t)y+b(t) ),( y(t_0)=y_0 ):} $
Fisso $A(t)= int_(t_o)^(t) a(s) ds $ e riscrivo l'integrale completo $y(t)=e^(int_(t_o)^(t) a(s) ds)(c+int_(t_o)^(t) b(s)e^(-int_(t_o)^(s) a(l) dl) ds)$.
La soluzione è $y(t)=e^(int_(t_o)^(t) a(s) ds)(y_0+int_(t_o)^(t) b(s)e^(-int_(t_o)^(s) a(l) dl) ds)$.
3)Cosa ha fatto negli ultimi passaggi?
Perchè $int_(t_o)^(t) b(s)ds$ ha proprio quegli estremi di integrazione?
Perchè $int_(t_o)^(t) b(s)ds$ si trasforma in $int_(t_o)^(s) a(l) dl$?
Perchè sostituisco $c$ con $y_0$?
Grazie!
Ora ti mostro la dimostrazione(ti prego di correggermi ad ogni passaggio o scrittura errata):
Sappiamo che l'integrale completo di una lineare del primo ordine si ottiene sommando l'integrale particolare all'integrale generale dell'omogenea associata.
Quindi troviamo prima l'integrale generale dell'omogenea che dovrebbe essere del tipo $y'=a(t)y$.
Posto $y!=0$ si ha $int (y')/y dt=int a(t)dt$ da cui $log|y|=A(t)+k$ dove A(t) rappresenta la primitiva di a(t).
Quindi abbiamo $y=e^(A(t)+k)=e^(A(t))e^k=ce^(A(t))$ che dovrebbe essere quindi l'integrale generale dell'omogenea associata alla nostra equazione differenziale.
1)Ora dobbiamo trovare la particolare e qui ho un piccolo dubbio:
Il teorema dice "L'integrale completo di una lineare del primo ordine si ottiene sommando l'integrale particolare all'integrale generale dell'omogenea associata"; ma io per trovare l'integrale particolare ho bisogno necessariamente dell'integrale completo!
Comunque andiamo avanti: dobbiamo allora trovare l'integrale particolare della nostra equazione.
La nostra equazione è del tipo $y'=a(t)y+b(t)$ e ho appuntato che ho una soluzione di questo tipo: $varphi=c(t)e^(A(t))$.
2)Altro dubbio: perchè la soluzione deve avere quella forma?!
Vado a derivare $varphi'=c'(t)e^(A(t))+c(t)a(t)e^(A(t))$.
Sostituisco nell'equazione differenziale $varphi$ e $varphi'$ e ottengo $c'(t)e^A(t)=b(t)$ poichè i termini $c(t)a(t)e^(A(t))$ si sommano a zero.
Quindi $c'(t)=b(t)e^(-A(t))$ e $c(t)=int b(t)e^(-A(t))dt$.
Il nostro integrale generale quindi assume la forma $y=e^(A(t))(c+b(t)e^(-A(t))dt)$.
Ora per disfarmi della $c$ mi servo del problema di Cauchy:
Ho scritto :
$ { ( y'=a(t)y+b(t) ),( y(t_0)=y_0 ):} $
Fisso $A(t)= int_(t_o)^(t) a(s) ds $ e riscrivo l'integrale completo $y(t)=e^(int_(t_o)^(t) a(s) ds)(c+int_(t_o)^(t) b(s)e^(-int_(t_o)^(s) a(l) dl) ds)$.
La soluzione è $y(t)=e^(int_(t_o)^(t) a(s) ds)(y_0+int_(t_o)^(t) b(s)e^(-int_(t_o)^(s) a(l) dl) ds)$.
3)Cosa ha fatto negli ultimi passaggi?
Perchè $int_(t_o)^(t) b(s)ds$ ha proprio quegli estremi di integrazione?
Perchè $int_(t_o)^(t) b(s)ds$ si trasforma in $int_(t_o)^(s) a(l) dl$?
Perchè sostituisco $c$ con $y_0$?
Grazie!
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