Problema di Cauchy con valore assoluto

[norbel1]

Ciao a tutti ragazzi, ho un problema con il seguente problema di Cauchy:

\begin{cases} y'=|y|-e^x\\ y(0)=0 \end{cases}

Tracciare un grafico approssimativo della soluzione del problema di Cauchy

Per precisione il testo chiede anche di verificare le ipotesi del teorema di esistenza globale per l'equazione differenziale, ma il mio problema consiste nel tracciare il grafico.

Ringrazio chiunque voglia aiutarmi.

[Quinzio]

Guardiamo cosa succede per $x>=0$.

Ad $x=0, y=0$, e quindi dall-equazione stessa vediamo che $y'=-1$, quindi il grafico nell'intorno dello zero e' descrescente, quindi $y<0$.
Allora prendiamo il modulo nel senso corretto, cioe' $y'=-y-e^x$.
Poi si risolve normalmente e ci chiediamo se la funzione diventa mai positiva. Con la soluzione davanti si vede che la funzione non diventa mai positiva ($x>=0$).

[porzio1]

salve a tutti
spero di non esordire con qualche sciocchezza
mi sono cimentato,suddividendo lo studio in 2 casi : $y geq 0$ e $yleq0$

1) $ygeq0$
$ y'-y=-e^{x}$
$y(0)=0 $

che mi ha dato come soluzione $-xe^{x}$ per $xleq0$

2$)yleq0$
$y'+y=-e^x$
$y(0)=0$

che mi ha dato come soluzione $1/2(e^(-x)-e^x)$
ed ho ristretto la soluzione ad $xgeq0$




ricapitolando ,ho come soluzione
$y=-xe^x;xleq0$
$y=1/2(e^(-x)-e^x);xgeq0$
dovrebbe andare bene perchè ho verificato che la funzione è derivabile in $x=0$

[norbel1]

Grazie mille ad entrambi per le risposte.