Problema di Cauchy con trasformata di Laplace

[claudio_p88]

ho il seguente sistema :
\(\displaystyle y''-5y'+4y=-3t \)
\(\displaystyle y(0)=0 \)
\(\displaystyle y'(0) =1 \)
devo risolverlo tramite trasformata di Laplace, avevo pensato di procedere in questo modo:
so che \(\displaystyle \mathcal{L}\{-3t\} = \frac{-3}{s^2} \), ora e qui ho qualche dubbio sul mio svolgimento, so che \(\displaystyle y''(t) = s^2Y(s)+1 \) e che \(\displaystyle y'(s) = sY(s) \), come faccio ora a risolvere il problema?

[Summerwind78]

Ciao

direi che sei quasi arrivato alla soluzione

se sostituisci le trasformate che hai trovato nella tua equazione hai:

$s^2 Y(s) +1 -5sY(s)+4Y(s) = -3/s^2$

ovvero

$s^2 Y(s) -5sY(s)+4Y(s) = -3/s^2 - 1$

raggruppando $Y(s)$ ottieni
$Y(s)(s^2 -5s+4) = -3/s^2 - 1$

quindi

$Y(s) = (-3/s^2 - 1)/(s^2 -5s+4)$

fai un po' di semplificazioni vari a destra dell'uguale e poi non ti resta che antitrasformare nuovamente da entrambe le parti per trovare $y(t)$

[claudio_p88]

perfetto grazie

[claudio_p88]

qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi come faccio ad antitrasformare utilizzando i residui?

[gugo82]

Il libro sarebbe gentilissimo.

[claudio_p88]

ahahaha, hai ragione!!! Adesso mi dò una letta, grazie comunque...

[Summerwind78]

@claudio_p88: ma devi farlo per forza con i residui? non ti sarebbe più semplice farlo con la scomposizione in fratti semplici?

[claudio_p88]

Grazie mille, mi sono dato una letta come consigliatomi e ho risolto sia con il metodo dei residui che con la scomposizione