Problema di Cauchy con trasformata di Laplace
Salve a tutti ho delle difficoltà con un esercizio spero mi possiate illuminare. devo risolvere un problema di Cauchy utilizzando le trasformate di Laplace
$\{(Y'''(t)+Y(t)=1),(t>0),(Y(0)=Y'(0)=Y''(0)=0):}$
trasformando la prima equazione e applicando le condizioni iniziali arrivo a $y = 1/s * 1/(s^3+1)
Per quanto ne so io $s^3 + 1$ dovrebbe essere scomponibile come somma di cubi quindi come $(s+1)(s^2-s+1)$ cioè $y= 1/(s(s+1)(s^2-s+1)$
con un po' di calcoli arrivo a $y=1/s+1/(s+1)+(2s+1)/(s^2-s+1)$
Per quanto riguarda i primi due addendi non ci sono problemi, hanno antitrasformata banale ma il terzo mi mette in difficoltà e non so proprio come andare avanti. Un aiutino?
$\{(Y'''(t)+Y(t)=1),(t>0),(Y(0)=Y'(0)=Y''(0)=0):}$
trasformando la prima equazione e applicando le condizioni iniziali arrivo a $y = 1/s * 1/(s^3+1)
Per quanto ne so io $s^3 + 1$ dovrebbe essere scomponibile come somma di cubi quindi come $(s+1)(s^2-s+1)$ cioè $y= 1/(s(s+1)(s^2-s+1)$
con un po' di calcoli arrivo a $y=1/s+1/(s+1)+(2s+1)/(s^2-s+1)$
Per quanto riguarda i primi due addendi non ci sono problemi, hanno antitrasformata banale ma il terzo mi mette in difficoltà e non so proprio come andare avanti. Un aiutino?
Risposte
puoi antitrasformare l'ultimo pezzo come
$ 2 s/(s^2-s+1) $ e $ 1/(s^2-s+1) $
che diventano
$ e^(t/2)(2+t) $ e $ te^(t/2) $
presi dalla tabella delle antitrasformate di "Barozzi - Matematica per l'ingegneria dell'informazione"
$ 2 s/(s^2-s+1) $ e $ 1/(s^2-s+1) $
che diventano
$ e^(t/2)(2+t) $ e $ te^(t/2) $
presi dalla tabella delle antitrasformate di "Barozzi - Matematica per l'ingegneria dell'informazione"
@n1ghtma3: Credo sia meglio se torni a guardare con attenzione la tabella... 
Infatti il polinomio a denominatore ha radici complesse, ergo l'antitrasformata deve contenere un seno od un coseno.
Infatti il polinomio a denominatore ha radici complesse, ergo l'antitrasformata deve contenere un seno od un coseno.
cavoli è vero...mi sembrava ci fosse una parentesi in più...quindi:
primo pezzo:
$ e^(t/2)(cos(sqrt(3/4t)) + 1/sqrt(3) sen(sqrt(3/4t))) $
secondo pezzo:
$ e^(t/2)/sqrt(3/4)sen(sqrt(3/4t)) $
scusate l'errore!
primo pezzo:
$ e^(t/2)(cos(sqrt(3/4t)) + 1/sqrt(3) sen(sqrt(3/4t))) $
secondo pezzo:
$ e^(t/2)/sqrt(3/4)sen(sqrt(3/4t)) $
scusate l'errore!
°__° il mio problema è che quella era una prova d'esame e quindi devo imparare la tabella a memoria. Grazie mille per le risposte
non vi fanno usare le tabelle di trasformate e antitrasformate?! solitamente allegano almeno quelle necessarie...sennò o ti impari la tabella a memoria (ok per le trasformate elementari come t^n, H(t), la delta di dirac, esponenziale, trigonometriche e iperboliche...ma le altre?!)
no, niente tabelle delle trasformate. non ho problemi ad antitrasformare binomi, mi rimane il dubbio sui trinomi non scomponibili come prodotto di binomi
La regola aurea è:
- [tex]$\frac{\omega_0}{(s-s_0)^2+\omega_0^2}$[/tex] si antitrasforma in [tex]$e^{s_0t} \sin \omega_0t$[/tex],
- [tex]$\frac{s-s_0}{(s-s_0)^2+\omega_0^2}$[/tex] si antitrasforma in [tex]$e^{s_0t}\cos \omega_0t$[/tex];
visto che ogni polinomio di secondo grado con discriminante [tex]$<0$[/tex] si può scrivere come [tex]$\alpha\ [(s-s_0)^2+\omega_0^2]$[/tex], queste due regolette risolvono tutto.
- [tex]$\frac{\omega_0}{(s-s_0)^2+\omega_0^2}$[/tex] si antitrasforma in [tex]$e^{s_0t} \sin \omega_0t$[/tex],
- [tex]$\frac{s-s_0}{(s-s_0)^2+\omega_0^2}$[/tex] si antitrasforma in [tex]$e^{s_0t}\cos \omega_0t$[/tex];
visto che ogni polinomio di secondo grado con discriminante [tex]$<0$[/tex] si può scrivere come [tex]$\alpha\ [(s-s_0)^2+\omega_0^2]$[/tex], queste due regolette risolvono tutto.
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