Problema di Cauchy con trasformata di Laplace

[Seraf2]

$ { (y''+y=f(t)), (y(0)=0), (y'(0) =1) :}$ con \(\displaystyle f(t) \) = $ { ( t^2, 0<=t<=1), (1, t>1) :}$


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ho pensato di impostare così:
\(\displaystyle f(t)=t^2[u(t)-u(t-1)]-u(t-1) = t^2 u(t)- t^2 u(t-1) -u(t-1) \)
quindi:
\(\displaystyle y''+y= t^2 u(t)- t^2 u(t-1) -u(t-1) \)

ora faccio la trasformata sui tre termini del secondo membro separatamente per la proprietà della linearità.
\(\displaystyle L[ t^2 u(t)] - L[t^2 u(t-1)] - L[u(t-1)] \)

giusto?

[ciampax]

Giusto ma attento ai segni:
$$f(t)=t^2[u(t)-u(t-1)]+u(t-1)$$
Per trasformare, io osserverei che
$$f(t)=t^2 u(t)+(1-t^2) u(t-1)$$
e che puoi scrivere la funzione $1-t^2$ in termini di $t-1$ al modo seguente
$$1-t^2=-(t-1)(t+1)=-(t-1)[(t-1)+2]=-(t-1)^2-2(t-1)$$
in modo da poter usare la proprietà di traslazione:
$$L[f(t-a)\cdot u(t-a)]=e^{-as}\cdot L[f](s)$$