Problema di Cauchy con Trasformata

[VittorioT91]

Devo risolvere questo problema di Cauchy mediante le trasformate di Laplace:

$\{(6y^(II)-y^I-y=6(t-2)H_2(t)),(y(0)=-1),(y^I(0)=1):}$

Trasformando (vi risparmio tutti i passaggi):

$Y(s)= ((-6s+7)/(6s^2-s-1)) + 6(e^(-2s)/(s(6s^2-s-1))) =Y_1(s) + Y_2(s)$

Arrivato a questo punto ho provato a scomporlo in vari modi ma mi vengono numeri abbastanza inusuali che mi fanno pensare a qualche errore, voi come lo svolgereste?

Grazie in anticipo!

[ciampax]

Dunque, la trasformata del termine omogeneo è
$$6(s^2Y-1+s)-(sY-1)-Y=(6s^2-s-1)Y+6s-5$$
mentre quella del termine noto è
$$\frac{6 e^{-2s}}{s^2}$$

[VittorioT91]

"ciampax":Dunque, la trasformata del termine omogeneo è
$$6(s^2Y-1+s)-(sY-1)-Y=(6s^2-s-1)Y+6s-5$$
mentre quella del termine noto è
$$\frac{6 e^{-2s}}{s^2}$$

Scusa ciampax, nel termine omogeneo a me risulta essere $-(sY+1)$ perchè si deve fare $-y(0)$, infatti a te risulta $6s-5$ e a me $6s-7$

Nel termine noto come mai al denominatore c'è $s^2$?

A prescindere da questo, il problema adesso è antitrasformare!

[ciampax]

Ah sì, scusa, avevo scambiato tra loro $y$ e $y'$. Per l'altra comunque
$$\mathcal{L}[(t-2)H_2(t)]=\int_0^\infty (t-2) H_2(t) e^{-st}\ dt=\int_2^\infty (t-2) e^{-st}\ dt=$$
posto $\tau=t-2$
$$=\int_0^\infty \tau e^{-s\tau-2s}\ d\tau=e^{-2s}\int_0^\infty \tau e^{-s\tau}\ d\tau=\frac{e^{-2s}}{s^2}$$
Come ti dicevo nell'altro esercizio, considera che dopo la trasformata tu hai l'equazione scritta così
$$A(s) Y+B(s)=R(s)$$
Per lavorare alla soluzione, quello che devi fare è quanto segue:
1) scomporre la frazione $-\frac{B(s)}{A(s)}$ per trovare la soluzione omogenea. Osserva che
$$6s^2-s-1=(2s-1)(3s+1)$$
per cui
$$-\frac{B(s)}{A(s)}=-\frac{6s-7}{(2s-1)(3s+1)}=\frac{A}{2s-1}+\frac{B}{3s+1}$$
da cui
$$7-6s=A(3s+1)+B(2s-1)$$
e si verifica facilmente che $A=8/5,\ B=-{27}/5$. Quindi
$$\mathcal{L}^{-1}\left(-\frac{B(s)}{A(s)}\right)=\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{4}{5(s-1/2)}-\frac{9}{5(s+1/3)}\right)=\frac{4}{5}e^{t/2}-\frac{9}{5} e^{-t/3}$$

2) Se indichi con $r(t)$ l'antitrasformata di $R(s)$ (che è il termine noto dell'equazione di partenza) e con $a(t)$ l'antitrasformata di $1/{A(s)}$, allora dal teorema di convoluzione
$$\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{R(s)}{A(s)}\right)=\int_0^t a(t-\tau) r(\tau)\ d\tau$$
Osserva che $a(t)=\frac{1}{5}(e^{-t/2}-e^{t/3})$ per cui basta un semplice calcolo.

[VittorioT91]

Grazie ciampax, sempre preciso ed esaustivo.

Per quanto riguarda la seconda parte posso risolverla in modo simile alla prima parte?
Cioè ti scrivo il procedimento:

Lascio stare $6 e^(-2s)$ che poi trascriverò nella soluzione finale.

Considero quindi la funzione $Y_2(s)=1/(s^2(2s-1)(3s+1))= A/s + B/s^2 + C/(2s-1)+D/(3s+1)$

Mi trovo A,B,C,D facendo il limite:

$A=lim_(s->0)d/(ds)(1/(6s^2-s-1))=1$

$B=lim_(s->0)(1/(6s^2-s-1))=-1$

$C=lim_(s->1/2)1/(s^2(3s+1))=8/5$

$D=lim_(s->-1/3)1/(s^2(2s-1))=-27/5$

Così facendo antitrasformando questa seconda parte mi risulta:

$y_2(t)=-t+4/5e^(t/2)-9/5e^(-t/3)$

E' ugualmente corretto procedere così?

[ciampax]

Sì, va pure bene, ma poi comunque devi usare quell'esponenziale, nel senso che questa $y_2$che hai trovato non è la soluzione particolare giusta. Per verificare se è corretta, usa entrambi i metodi e vedi se con questo, alla fine, hai la stessa soluzione di quella che ottieni con la convoluzione. Comunque l'antitrasformata di $1/{s-a}$ è $e^{as}$, non $e^{-as}$.