Problema di Cauchy con testo "bizzarro"..
Ciao ragazzi, ho da risolvere questo problema:
Sia [tex]f \in C(\mathbb{R})[/tex] una funzione continua tale che [tex]t f(t) \geqslant 0[/tex] per ogni t reale.
Devo mostrare che il problema di Cauchy
[tex]y''+e^{-x} f(y)=0[/tex]
con le condizioni iniziali [tex]y(0)=y'(0)=0[/tex] ha come soluzione unica [tex]y=0[/tex].
Ora, considerando che per essere quella soluzione unica, deve anzitutto essere una soluzione, quello che non mi convince è che sostituendo la funzione [tex]y(x)=0[/tex] all'equazione differenziale ottengo [tex]e^{-x} f(0)=0[/tex]. Chi mi dice che questa è un'identità, con le informazioni che mi dà il testo?
Sono perplesso, ringrazio fin da ora chi vorrà darmi una mano..
Sia [tex]f \in C(\mathbb{R})[/tex] una funzione continua tale che [tex]t f(t) \geqslant 0[/tex] per ogni t reale.
Devo mostrare che il problema di Cauchy
[tex]y''+e^{-x} f(y)=0[/tex]
con le condizioni iniziali [tex]y(0)=y'(0)=0[/tex] ha come soluzione unica [tex]y=0[/tex].
Ora, considerando che per essere quella soluzione unica, deve anzitutto essere una soluzione, quello che non mi convince è che sostituendo la funzione [tex]y(x)=0[/tex] all'equazione differenziale ottengo [tex]e^{-x} f(0)=0[/tex]. Chi mi dice che questa è un'identità, con le informazioni che mi dà il testo?
Sono perplesso, ringrazio fin da ora chi vorrà darmi una mano..
Risposte
Dalle ipotesi hai che $f(t) \ge 0$ per $t\ge 0$, mentre $f(t) \le 0$ per $t\le 0$.
Inoltre $f$ è continua...
Inoltre $f$ è continua...
Hai ragione, era una cosa a cui sarei potuto arrivare: [tex]f[/tex] è continua su [tex]R[/tex], e cambia segno in 0, quindi nel punto [tex]t=0[/tex] deve valere necessariamente 0. Grazie..
Chiarito che la soluzione costantemente nulla è effettivamente una soluzione, va adesso provato che è unica. Vedendo come si presenta l'equazione differenziale, agirei supponendo per assurdo che ne esista un'altra non identicamente nulla, visto che qui il teorema di esistenza e unicità locale non si può applicare a meno di riuscire a trasformarla in una del primo ordine, cosa che onestamente al momento non vedo come sia possibile.
Chiarito che la soluzione costantemente nulla è effettivamente una soluzione, va adesso provato che è unica. Vedendo come si presenta l'equazione differenziale, agirei supponendo per assurdo che ne esista un'altra non identicamente nulla, visto che qui il teorema di esistenza e unicità locale non si può applicare a meno di riuscire a trasformarla in una del primo ordine, cosa che onestamente al momento non vedo come sia possibile.
"tonyME":
trasformarla in una del primo ordine, cosa che onestamente al momento non vedo come sia possibile.
Ah se il problema è tutto lì basta usare questo classico trucco:
poni \(y_0=y, y_1=y'\) e chiama \(Y=\begin{bmatrix}y_1 \\ y_0\end{bmatrix}\) cosicché il tuo problema è equivalente a
\[\begin{cases}Y'(x)+\begin{bmatrix} e^{-x}f(y_0(x)) \\ -y_1\end{bmatrix}= \mathbf{0} \\ Y(0)=\mathbf{0}\end{cases}.\]
"dissonance":
[quote="tonyME"]trasformarla in una del primo ordine, cosa che onestamente al momento non vedo come sia possibile.
Ah se il problema è tutto lì basta usare questo classico trucco:
poni \(y_0=y, y_1=y'\) e chiama \(Y=\begin{bmatrix}y_1 \\ y_0\end{bmatrix}\) cosicché il tuo problema è equivalente a
\[\begin{cases}Y'(x)+\begin{bmatrix} e^{-x}f(y_0(x)) \\ y_1\end{bmatrix}= \mathbf{0} \\ Y(0)=\mathbf{0}\end{cases}.\][/quote]
nel sistema manca un meno davanti a $y_1$
"luluemicia":
nel sistema manca un meno davanti a $y_1$
Si, certo. Ho corretto, grazie mille!
Vi ringrazio tantissimo, ora lo faccio..grazie mille!
Salve ragazzi, torno su questo esercizio perchè il prof. mi ha parlato di una strada alternativa per risolverlo. Come suggerimento, mi ha detto nella mail "prova a moltiplicare per [tex]e^{x} y'[/tex], poi applica il Lemma di Gronwall".
Ho provato a seguire questa strada, operando così fino a un punto nel quale non riesco a proseguire:
- moltiplico l'equazione differenziale per [tex]e^{x} y'[/tex], ottenendo [tex]e^{x} y' y'' + f(y) y' = 0[/tex];
- a questo punto integro tutto tra 0 e x, e con un'integrazione per parti del primo pezzo pervengo (moltiplicando tutto per due) a [tex]e^{x} y'(x)^{2} - \int_{0}^{x} e^{x} y'(x)^{2} dx + f(y)^{2} = 0[/tex]
- riarrangiando, e chiamando la funzione (positiva) [tex]\varphi(x) = e^{x} y'(x)^{2}[/tex] ottengo [tex]\varphi(x) = - f(y(x))^{2} + \int_{0}^{x} \varphi(t) dt[/tex]
Chiaramente, per applicare il lemma di Gronwall ci vuole una maggiorazione della [tex]\varphi(x)[/tex]. Ora, essendo [tex]-f(y)^{2}[/tex] necessariamente negativo per la presenza del quadrato di f(y), ho operato una banale maggiorazione con 1, con la disuguaglianza che diventa:
[tex]\varphi(x) \le 1 + \int_{0}^{x} \varphi(t) dt[/tex]
e per il Lemma avrò [tex]\varphi(x) \le e^{x}[/tex], da cui [tex]e^{x} y'(x)^{2} \le e^{x}[/tex] ovvero [tex]y'(x)^{2} \le 1[/tex]. Da questa informazione però non riesco a ottenere nessun assurdo che mi porta a dire che l'unica soluzione possibile è [tex]y=0[/tex]. Mi dareste qualche consiglio? Grazie..
Ho provato a seguire questa strada, operando così fino a un punto nel quale non riesco a proseguire:
- moltiplico l'equazione differenziale per [tex]e^{x} y'[/tex], ottenendo [tex]e^{x} y' y'' + f(y) y' = 0[/tex];
- a questo punto integro tutto tra 0 e x, e con un'integrazione per parti del primo pezzo pervengo (moltiplicando tutto per due) a [tex]e^{x} y'(x)^{2} - \int_{0}^{x} e^{x} y'(x)^{2} dx + f(y)^{2} = 0[/tex]
- riarrangiando, e chiamando la funzione (positiva) [tex]\varphi(x) = e^{x} y'(x)^{2}[/tex] ottengo [tex]\varphi(x) = - f(y(x))^{2} + \int_{0}^{x} \varphi(t) dt[/tex]
Chiaramente, per applicare il lemma di Gronwall ci vuole una maggiorazione della [tex]\varphi(x)[/tex]. Ora, essendo [tex]-f(y)^{2}[/tex] necessariamente negativo per la presenza del quadrato di f(y), ho operato una banale maggiorazione con 1, con la disuguaglianza che diventa:
[tex]\varphi(x) \le 1 + \int_{0}^{x} \varphi(t) dt[/tex]
e per il Lemma avrò [tex]\varphi(x) \le e^{x}[/tex], da cui [tex]e^{x} y'(x)^{2} \le e^{x}[/tex] ovvero [tex]y'(x)^{2} \le 1[/tex]. Da questa informazione però non riesco a ottenere nessun assurdo che mi porta a dire che l'unica soluzione possibile è [tex]y=0[/tex]. Mi dareste qualche consiglio? Grazie..
Puoi provare a fare così.
Definisci \( \psi(x) := e^x y'(x)^2+ 2F(y(x)) \), con \( F(z) := \int_0^z f(s) ds \); per le ipotesi su $f$ hai che $F\ge 0$ e dunque anche $\psi \ge 0$.
Facendo un paio di conti ottieni che
\[ \psi'(x) = \psi(x) - 2F(y(x)) \leq \psi(x). \]
Dunque \( \psi' \leq \psi \), \(\psi\geq 0\) e, usando le condizioni iniziali, \( \psi(0) = 0\).
A questo punto dovresti poter concludere facilmente.
Definisci \( \psi(x) := e^x y'(x)^2+ 2F(y(x)) \), con \( F(z) := \int_0^z f(s) ds \); per le ipotesi su $f$ hai che $F\ge 0$ e dunque anche $\psi \ge 0$.
Facendo un paio di conti ottieni che
\[ \psi'(x) = \psi(x) - 2F(y(x)) \leq \psi(x). \]
Dunque \( \psi' \leq \psi \), \(\psi\geq 0\) e, usando le condizioni iniziali, \( \psi(0) = 0\).
A questo punto dovresti poter concludere facilmente.
Grazie Rigel, stavo proprio postando una soluzione alternativa che mi è venuta in mente pochi minuti fa ma sulla quale voglio chiedervi cosa ne pensate.
Dunque, per il Lemma di Gronwall i coefficienti [tex]\alpha, \beta[/tex] devono essere maggiori o uguali a zero. Nel mio caso, quindi, posso pure maggiorare con [tex]\alpha=0[/tex], essendo quel pezzo negativo o comunque certamente non positivo.
In questo modo, segue [tex]\varphi(x) \le 0[/tex], da cui [tex]y'(x)^{ 2} \le 0[/tex] che implica necessariamente [tex]y'(x)=0[/tex]. Se la derivata prima si annulla sempre per ogni x, allora anche la derivata seconda sarà costantemente nulla, quindi sostituendo nell'equazione differenziale di partenza ottengo, con un pò di banali calcoli, [tex]f(y)= 0[/tex], il che comporta, per come è stata definita la f, y=0.
Vi convince come procedura, o è troppo macchinosa?
Dunque, per il Lemma di Gronwall i coefficienti [tex]\alpha, \beta[/tex] devono essere maggiori o uguali a zero. Nel mio caso, quindi, posso pure maggiorare con [tex]\alpha=0[/tex], essendo quel pezzo negativo o comunque certamente non positivo.
In questo modo, segue [tex]\varphi(x) \le 0[/tex], da cui [tex]y'(x)^{ 2} \le 0[/tex] che implica necessariamente [tex]y'(x)=0[/tex]. Se la derivata prima si annulla sempre per ogni x, allora anche la derivata seconda sarà costantemente nulla, quindi sostituendo nell'equazione differenziale di partenza ottengo, con un pò di banali calcoli, [tex]f(y)= 0[/tex], il che comporta, per come è stata definita la f, y=0.
Vi convince come procedura, o è troppo macchinosa?
"tonyME":
Chiaramente, per applicare il lemma di Gronwall ci vuole una maggiorazione della [tex]\varphi(x)[/tex]. Ora, essendo [tex]-f(y)^{2}[/tex] necessariamente negativo per la presenza del quadrato di f(y), ho operato una banale maggiorazione con 1[...]
Perché non maggiori con 0 invece...? Così ottieni che \(0\le \varphi \le \int_0^x\varphi\) e per il lemma di Gronwall \(0\le\varphi\le 0\). Quindi \(y'=0\) e allora \(y\) deve essere costante eccetera eccetera. No? Mi sbaglio?
Effettivamente hai ragione dissonance, infatti nell'ultimo post ho scritto proprio questo..dimenticavo che le costanti possono anche essere zero, nel lemma, ma c'è comunque un errore a monte che Gugo e Rigel mi hanno fatto notare..grazie mille a tutti!
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