Problema di Cauchy con radice quadrata

[Polcio]

Buonasera, ho un dubbio su un tema esame di analisi 2 con un PDC che non ho mai incontrato prima. Non so proprio come prenderlo, perché ha una radice quadrata con una somma tra la funzione [tex]y(x)[/tex] e la variabile [tex]x[/tex].

Ecco il quesito:

Dato [tex]A = \left\{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : 2x^2 + 3y^2 > 1 \right\}[/tex], si consideri il problema di Cauchy:
\begin{cases} y'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x^2+3y^2(x)}\ \ -\ \ 1} \\ y(x_0) = y_0 \end{cases}
con [tex]x_0, y_0 \in \mathbb{R}[/tex].

- Dire se [tex]\forall (x_0, y_0) \in A[/tex], questo PDC soddisfa alle ipotesi del teorema di Cauchy locale.
- Dire se [tex]\forall (x_0, y_0) \in A[/tex], la soluzione è strettamente monotona.
[/list:u:ix5w1xfm]


1) Per quanto riguarda il primo punto, direi che il PDC soddisfa alle ipotesi perché:



[*:ix5w1xfm]La funzione [tex]f(x, y) = \frac{1}{\sqrt{2x^2+3y^2}\ \ -\ \ 1}[/tex] oltre ad essere [tex]C^0[/tex] su [tex]A[/tex] è anche [tex]C^\infty[/tex]: il denominatore è sempre [tex]> 0[/tex] e l'argomento della radice è sempre [tex]> 1[/tex], quindi la funzione è continua (e derivabile infinite volte in quanto frazione con radice di un polinomio).[/list:u:ix5w1xfm]

[*:ix5w1xfm]La funzione [tex]f(x,y)[/tex] è localmente lipschitziana in [tex]y[/tex] uniformemente rispetto a [tex]x[/tex] perché è una funzione [tex]C^1[/tex] in un aperto [tex](A)[/tex].[/*:m:ix5w1xfm][/list:u:ix5w1xfm]
Ecco, magari avrei bisogno di un consiglio su come esprimere questi concetti in modo meno "bovino" e più rigoroso, perché non vorrei dare l'impressione di andare a occhio.[/*:m:ix5w1xfm][/list:u:ix5w1xfm]

2) Il secondo punto non so come prenderlo.


Non sono esperto di equazioni differenziali, sto cominciando ora a farle seriamente, ma questa non mi sembra a variabili separabili, non mi sembra affrontabile con la sostituzione [tex]z = \frac{y}{x}[/tex], non sembra rispettare le forme canoniche, non mi sembra di poter applicare formule.
[/list:u:ix5w1xfm]

Ho qualche domanda:


[*:ix5w1xfm]Potrei cercare le soluzioni stazionarie e poi studiare come si comportano le altre soluzioni tra una stazionaria e un'altra (tenendo conto dell'unicità della soluzione)? [/*:m:ix5w1xfm]
[*:ix5w1xfm]Siccome in questo PDC c'è una condizione iniziale, devo applicarla? Se sì, quando o dove? [/*:m:ix5w1xfm]
[*:ix5w1xfm]È possibile studiare l'andamento della soluzione senza prima calcolarla?[/*:m:ix5w1xfm]
[*:ix5w1xfm]E soprattutto: è possibile risolvere questo PDC? Come?[/*:m:ix5w1xfm][/list:u:ix5w1xfm]
Thanks in advance.

[Mephlip]

Dico la mia (forse è troppo ingenuo come approccio) sul punto 2: in $A$ è $2x^2+3y^2>1$ e dunque per monotonia della radice è $\sqrt{2x^2+3y^2} > 1$, pertanto la frazione $\frac{1}{\sqrt{2x^2+3y^2-1}$ è sempre strettamente positiva in $A$; dato che tale frazione è l'espressione di $y'$ segue che $y$ è strettamente monotòna in $A$.
Non mi sembra che ciò dipenda dalla condizione iniziale $(x_0,y_0)$ e perciò dovrebbe essere vero per ogni $(x_0,y_0) \in A$.

[Polcio]

Giusto, non l'avevo notato. Grazie mille!