Problema di Cauchy con modulo.
Buongiorno a tutti, qualcuno potrebbe aiutarmi con il seguente problema?
\begin{cases} y'=|y|-|x|\\ y(0)=0 \end{cases}
Si richiede di:
i) Tracciare un grafico approssimativo della soluzione;
ii) Determinare esplicitamente la soluzione.
Vi ringrazio in anticipo.
\begin{cases} y'=|y|-|x|\\ y(0)=0 \end{cases}
Si richiede di:
i) Tracciare un grafico approssimativo della soluzione;
ii) Determinare esplicitamente la soluzione.
Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
La presenza dei valori assoluti ti dice che l'equazione (e quindi al soluzione) cambia lievemente a seconda del quadrante del piano cartesiano che prendi in considerazione. Sostanzialmente puoi risolverla in 4 casi diversi (uno per ogni quadrante), ma in realtà, una volta risolta nel primo quadrante, poi è solo una questione di sistemare bene i segni.
Per risolvere il PdC assegnato bisogna fare un po' di considerazioni qualitative non del tutto immediate sulla posizione e la forma del grafico della soluzione massimale a sinistra ed a destra di \(0\).
Prova un po', se non riesci posto qualche suggerimento o la soluzione.
Prova un po', se non riesci posto qualche suggerimento o la soluzione.
Scusate se riprendo solo ora questa discussione, ma non avevo una connessione per poter rispondere in questi giorni. Intanto ringrazio per le risposte che mi sono state date, mentre per quello che riguarda il problema ho verificato che le soluzioni dell'equazione sono strettamente crescenti per |y|>|x|, strettamente decrescenti per |y|<|x|. Però poi non so più come andare avanti per tracciare il grafico e determinare la soluzione esplicita.
Gugo82 se potessi postare una soluzione con qualche commento mi sarebbe molto di aiuto. Ringrazio chiunque volesse perdere un po' del suo tempo aiutandomi.
Gugo82 se potessi postare una soluzione con qualche commento mi sarebbe molto di aiuto. Ringrazio chiunque volesse perdere un po' del suo tempo aiutandomi.
Vediamo un po' cosa si può dire circa la soluzione massimale del PdC:
\[
\tag{1}
\left\{ \begin{split} y^\prime (x) &=\left| y(x)\right|-|x|\\
y(0) &= 0 \end{split}\right.
\]
Innanzitutto, dato che il secondo membro \(f(x,y):=|y|-|x|\) è definito e continuo in tutto \(\mathbb{R}^2\), nonché uniformemente lipschitziano e sublineare rispetto ad \(y\), la soluzione massimale \(y(\cdot;0,0)\) del PdC è unica, definita "in grande" (cioé ha per dominio tutto \(\mathbb{R}\)) e di classe \(C^1(\mathbb{R})\); inoltre, la soluzione massimale è sicuramente di classe \(C^\infty\) negli aperti in cui essa non prende il valore nullo.
La soluzione del PdC assegnato è una funzione dispari: infatti, posto \(u(x):=- y(-x;0,0)\) si ha:
\[
u^\prime (x) = y^\prime (-x;0,0) =\left| y(-x;0,0)\right| - |-x| = \left| u(x)\right| - |x|
\]
ed \(u(0)=y(0;0,0)=0\), cosicché \(u\) risolve il medesimo PdC di \(y(\cdot; 0,0)\); dunque, per unicità, si ha \(u(x)=y(x;0,0)\) ossia \(y(-x;0,0)=-y(x;0,0)\) per ogni \(x\in \mathbb{R}\).
Evidentemente, la EDO non ha soluzioni stazionarie.
Dato che:
\[
f(x,y)\geq 0\quad \Leftrightarrow \quad |y|\geq |x| \quad \Leftrightarrow \quad -|y|\leq x\leq |y|
\]
e negativa altrove, le soluzioni massimali della EDO sono crescenti [risp. decrescenti] non appena il loro grafico rimane nella zona \(\Omega^+\) [risp. \(\Omega^-\)] delimitata dalle disuguaglianze \(-|y|\leq x\leq |y|\) [risp. \(-|x|\leq y\leq |x|\)] (vedi figura).
[asvg]axes("","");
marker="arrow"; line([-1,2],[1,4]); line([-1,-4],[1,-2]); line([2,1],[4,-1]); line([-4,1],[-2,-1]);
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("x",-6,6); plot("-x",-6,6);[/asvg]
Dato che in \((x_0,y_0)=(0,0)\) si ha \(f(x_0,y_0)=0\), è \(y^\prime (0;0,0)=0\); quindi dal precedente grafico di monotonia segue che il grafico della soluzione \(y(\cdot; 0,0)\) è necessariamente contenuto in \(\Omega^-\) per \(x\) sufficientemente prossimi a \(0\).
Dalla disparità di \(y(\cdot;0,0)\) segue che \(y(x;0,0)>0\) [risp. \(<0\)] per \(x<0\) [risp. \(>0\)] sufficientemente vicini a \(0\); conseguentemente la \(y(\cdot;0,0)\) soddisfa:
\[
\tag{2}
\left\{ \begin{split}
y^\prime (x) &= x + y(x)\quad \text{, per } -X
\]
e:
\[
\tag{3}
\left\{ \begin{split}
y^\prime (x) &= -x - y(x)\quad \text{, per } 0\leq x
\]
con \(X>0\) sufficientemente piccolo.
Tenendo in conto la disparità di \(y(\cdot;0,0)\), possiamo limitarci a studiare ciò che accade per \(x>0\) e poi simmetrizzare il risultato.
Il problema (3) ha soluzione:
\[
y_>(x) = 1-x-e^{-x}
\]
per \(x\in ]0,X[\) ed ora dobbiamo stabilire se \(X<\infty\) oppure \(X=\infty\); ciò si fa osservando che:
\[
X=\sup \{x>0: -x(x)
sicché basta studiare la funzione \(y_>\) e vedere qual è il più grande intorno di \(0\) in cui essa soddisfa le limitazioni \(-x(x)
0<1-e^{-x}
per \(x>0\) (per convessità dell'esponenziale!), si ha certamente:
\[
-x(x)<0
\]
in \(]0,\infty[\), dunque il grafico di \(y_>\) è sempre in \(\Omega^-\) per \(x>0\).
Da ciò segue che:
\[
y(x;0,0)=y_>(x)
\]
identicamente in \([0,\infty[\); per simmetria:
\[
y(x;0,0)=-y_>(-x) = -(1+x-e^x) = -1-x+e^x
\]
identicamente in \(]-\infty,0]\); quindi:
\[
y(x;0,0) := \begin{cases} 1-x-e^{-x} &\text{, se } x\geq 0\\
-1-x+e^x &\text{, se } x\leq 0\; .
\end{cases}
\]
Il grafico della soluzione è il seguente:
[asvg]axes("","");
stroke="red"; line([-6,-6],[6,6]); line([-6,6],[6,-6]);
strokewidth=2; stroke="dodgerblue"; plot("1-x-exp(-x)",0,6); plot("-1-x+exp(x)",-6,0);[/asvg]
\[
\tag{1}
\left\{ \begin{split} y^\prime (x) &=\left| y(x)\right|-|x|\\
y(0) &= 0 \end{split}\right.
\]
Innanzitutto, dato che il secondo membro \(f(x,y):=|y|-|x|\) è definito e continuo in tutto \(\mathbb{R}^2\), nonché uniformemente lipschitziano e sublineare rispetto ad \(y\), la soluzione massimale \(y(\cdot;0,0)\) del PdC è unica, definita "in grande" (cioé ha per dominio tutto \(\mathbb{R}\)) e di classe \(C^1(\mathbb{R})\); inoltre, la soluzione massimale è sicuramente di classe \(C^\infty\) negli aperti in cui essa non prende il valore nullo.
La soluzione del PdC assegnato è una funzione dispari: infatti, posto \(u(x):=- y(-x;0,0)\) si ha:
\[
u^\prime (x) = y^\prime (-x;0,0) =\left| y(-x;0,0)\right| - |-x| = \left| u(x)\right| - |x|
\]
ed \(u(0)=y(0;0,0)=0\), cosicché \(u\) risolve il medesimo PdC di \(y(\cdot; 0,0)\); dunque, per unicità, si ha \(u(x)=y(x;0,0)\) ossia \(y(-x;0,0)=-y(x;0,0)\) per ogni \(x\in \mathbb{R}\).
Evidentemente, la EDO non ha soluzioni stazionarie.
Dato che:
\[
f(x,y)\geq 0\quad \Leftrightarrow \quad |y|\geq |x| \quad \Leftrightarrow \quad -|y|\leq x\leq |y|
\]
e negativa altrove, le soluzioni massimali della EDO sono crescenti [risp. decrescenti] non appena il loro grafico rimane nella zona \(\Omega^+\) [risp. \(\Omega^-\)] delimitata dalle disuguaglianze \(-|y|\leq x\leq |y|\) [risp. \(-|x|\leq y\leq |x|\)] (vedi figura).
[asvg]axes("","");
marker="arrow"; line([-1,2],[1,4]); line([-1,-4],[1,-2]); line([2,1],[4,-1]); line([-4,1],[-2,-1]);
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("x",-6,6); plot("-x",-6,6);[/asvg]
Dato che in \((x_0,y_0)=(0,0)\) si ha \(f(x_0,y_0)=0\), è \(y^\prime (0;0,0)=0\); quindi dal precedente grafico di monotonia segue che il grafico della soluzione \(y(\cdot; 0,0)\) è necessariamente contenuto in \(\Omega^-\) per \(x\) sufficientemente prossimi a \(0\).
Dalla disparità di \(y(\cdot;0,0)\) segue che \(y(x;0,0)>0\) [risp. \(<0\)] per \(x<0\) [risp. \(>0\)] sufficientemente vicini a \(0\); conseguentemente la \(y(\cdot;0,0)\) soddisfa:
\[
\tag{2}
\left\{ \begin{split}
y^\prime (x) &= x + y(x)\quad \text{, per } -X
\]
e:
\[
\tag{3}
\left\{ \begin{split}
y^\prime (x) &= -x - y(x)\quad \text{, per } 0\leq x
\]
con \(X>0\) sufficientemente piccolo.
Tenendo in conto la disparità di \(y(\cdot;0,0)\), possiamo limitarci a studiare ciò che accade per \(x>0\) e poi simmetrizzare il risultato.
Il problema (3) ha soluzione:
\[
y_>(x) = 1-x-e^{-x}
\]
per \(x\in ]0,X[\) ed ora dobbiamo stabilire se \(X<\infty\) oppure \(X=\infty\); ciò si fa osservando che:
\[
X=\sup \{x>0: -x
sicché basta studiare la funzione \(y_>\) e vedere qual è il più grande intorno di \(0\) in cui essa soddisfa le limitazioni \(-x
0<1-e^{-x}
per \(x>0\) (per convessità dell'esponenziale!), si ha certamente:
\[
-x
\]
in \(]0,\infty[\), dunque il grafico di \(y_>\) è sempre in \(\Omega^-\) per \(x>0\).
Da ciò segue che:
\[
y(x;0,0)=y_>(x)
\]
identicamente in \([0,\infty[\); per simmetria:
\[
y(x;0,0)=-y_>(-x) = -(1+x-e^x) = -1-x+e^x
\]
identicamente in \(]-\infty,0]\); quindi:
\[
y(x;0,0) := \begin{cases} 1-x-e^{-x} &\text{, se } x\geq 0\\
-1-x+e^x &\text{, se } x\leq 0\; .
\end{cases}
\]
Il grafico della soluzione è il seguente:
[asvg]axes("","");
stroke="red"; line([-6,-6],[6,6]); line([-6,6],[6,-6]);
strokewidth=2; stroke="dodgerblue"; plot("1-x-exp(-x)",0,6); plot("-1-x+exp(x)",-6,0);[/asvg]
Che dire, grazie mille la risposta è stata esaustiva ed illuminante! Grazie ancora!
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