Problema di Cauchy con limiti

[Duj91]

Buon pomeriggio. In una delle prove di esame di Analisi I mi sono imbattuto in questo esercizio:

${ ( y'(x) = a(x)*y(x)+x+1 ),( y(0)=0 ):}$

1) Sia $a(x)$ una funzione derivabile in tutto l'asse reale e tale che $a(0) = 2$. Calcolare, se esiste, il seguente limite:

$lim_(x -> 0+) (y(x)-x)/(1-cosx)$

E' evidente che il limite e della forma $0/0$ quindi applico hopital sapendo che $y'(0)=1$:

$lim_(x -> 0+) (y'(x)-1)/(sinx)$

Ancora una forma indeterminata. Prima di applicare nuovamente Hopital bisogna valutare $y''(0)$.

$y''(x) = a'(x)*y(x) +a(x)*y'(x) + 1$

Non è necessario conoscere a'(0) ma basta sapere che in tale punto la derivata esiste finita, come ci viene garantito dal testo.
Risulterà $y''(0)=3$. Ora applichiamo di nuovo hopital:

$lim_(x -> 0+) y''(x)/(cosx) = 3$

2) Sia $a(x)=x$. Calcolare, se esiste, il seguente limite:

$lim_(x ->+oo ) y(x)$

Per trovare y(x) applico la formula:

$y(x) = e^(x^2/2)*(c+int e^(-x^2/2)*(x+1) dx)$

Il problema è che non riesco a risolvere in nessun modo l'integrale. Così mi chiedevo se per risolvere il limite non vi sia un altro modo.

3)Sia $a(x) = 1/(x+2)$. Trovare l'espressione esplicita della soluzione specicandone il dominio.

Applicando la formula risulta:

$y(x)= e^log(x+2)*(c+int e^(-log(x+2))*(x+1)) = (x+2)*(c+x-log(x+2))$

imponendo $y(0)=0$ ottengo $c=log2$. Allora:

$y(x)= (x+2)*(log2+x-log(x+2))$

Con $Domy(x) = (2; +oo)$

Oltre a chiedervi se i punti 1 e 3 sono corretti, volevo in particolare modo sapere come svolgere il punto 2. Grazie.

[stormy1]

per il punto (2) penso che si debba fare uno studio qualitativo della soluzione
spero di non prendere una cantonata,ma io direi :
il fatto che $y(0)=0;y'(0)=1$ fa sì che in un intorno di $x=0$ la funzione sia strettamente crescente e positiva per le $x>0$ appartenenti all'intorno
ciò implica che ,essendo $y'=xy+x+1$, la funzione sia strettamente crescente $forall x>0$
inoltre,sempre guardando l'espressione di $y'$,si ha che $ lim_(x -> +infty)y'=+infty $
ciò esclude la possibilità di un asintoto orizzontale e quindi $ lim_(x -> +infty)y=+infty $

[Duj91]

Ciao. Grazie per la risposta. Però capisco solo in parte il tuo ragionamento. E' sicuramente vero che la funzione è crescente e positiva per le $x>0$ appertenenti all'intorno di $x=0$. Ma come fai a concludere che $y(x)$ sia strettamente crescente $AAx>0$? Se guardi l'equazione differenziale $y'=xy+x+1$ questa ti garantisce la crescenza $AAx>0$ solo se y è positivo, o non negativo, $AAx>0$ ma questo come fai a capirlo? Probabilmente sbaglio io ma non mi è chiaro.

[stormy1]

scusami per il ritardo con il quale ti rispondo
essendo $y(0)=0$ ed essendo la $y$ strettamente crescente in un intorno di $0$ la $y$ diventa positiva per $x>0$ e questo fa sì che l'espressione $y'=xy+x+1$ resti positiva per ogni $x>0$