Problema di Cauchy con Laplace: non mi torna. Perché?
Il problema da risolvere è il seguente:
$\{(y''25 = H(t-2)), (y(0)=y'(0)=0):}$
Premesso che:
$L[H(t-2)](s)=e^{-2s}*L[H(t)]=\frac{e^{-2s}}{s}$
Usando le regole di trasformazioni seguenti:
$L[y''(t)](s)=s^2Y(s)-s*f(0)-f'(0)$
$L[y'(t)](s)=sY(s)-f(0)$
Ottengo:
$s^2Y-s5/s=\frac{e^{-2s}}{s}$
Da cui,
$Y(s)=\frac{e^{-2s}+25}{s^3}$
$s=0$ è un polo di ordine 3 allora
$y(t)=res(Y(s)*e^{st},0)= 1/{2!}\lim_{s \to 0}{d''}/{ds^2}(\frac{e^{-2s}+25}{s^3}*e^{st}*s^3)$
$=1/2 \lim_{s \to 0} {d''}/{ds^2}(e^{s(t-2)}+25e^{st})$
$=1/2 \lim_{s \to 0} {d}/{ds}((t-2)e^{s(t-2)}+25te^{st})$
$=1/2 \lim_{s \to 0} (e^{s(t-2)}+(t-2)^2e^{s(t-2)}+25e^{st}+25t^2e^{st})$
$=1/2 (1+(t-2)^2+25+25t^2$
...
$y(t)=13t^2-2t+15$
Solo che poi andando a fare le derivate non ottengo che $y(0)=y'(0)=0$
Infatti già $y(0)=15$.
Dove sbaglio?
EDIT:
Ho provato ad antitrasformare anche usando la regola $L[t^n](s)={n!}/{s^{n+1}}$
Il problema è che mi viene leggermente diverso (termine noto differente) e non capisco perché!!!
$Y(s)=\frac{e^{-2s}+25}{s^3}=1/{s^3}*e^{-2s}+25/s^3$
Antitrasformando ho:
$y(t)=1/2(t-2)^2+25/2t^2$ e svolgendo i prodotti ottengo:
$y(t)=13t^2-2t+2$
Perché +2 e non +15????
$\{(y''25 = H(t-2)), (y(0)=y'(0)=0):}$
Premesso che:
$L[H(t-2)](s)=e^{-2s}*L[H(t)]=\frac{e^{-2s}}{s}$
Usando le regole di trasformazioni seguenti:
$L[y''(t)](s)=s^2Y(s)-s*f(0)-f'(0)$
$L[y'(t)](s)=sY(s)-f(0)$
Ottengo:
$s^2Y-s5/s=\frac{e^{-2s}}{s}$
Da cui,
$Y(s)=\frac{e^{-2s}+25}{s^3}$
$s=0$ è un polo di ordine 3 allora
$y(t)=res(Y(s)*e^{st},0)= 1/{2!}\lim_{s \to 0}{d''}/{ds^2}(\frac{e^{-2s}+25}{s^3}*e^{st}*s^3)$
$=1/2 \lim_{s \to 0} {d''}/{ds^2}(e^{s(t-2)}+25e^{st})$
$=1/2 \lim_{s \to 0} {d}/{ds}((t-2)e^{s(t-2)}+25te^{st})$
$=1/2 \lim_{s \to 0} (e^{s(t-2)}+(t-2)^2e^{s(t-2)}+25e^{st}+25t^2e^{st})$
$=1/2 (1+(t-2)^2+25+25t^2$
...
$y(t)=13t^2-2t+15$
Solo che poi andando a fare le derivate non ottengo che $y(0)=y'(0)=0$
Infatti già $y(0)=15$.
Dove sbaglio?
EDIT:
Ho provato ad antitrasformare anche usando la regola $L[t^n](s)={n!}/{s^{n+1}}$
Il problema è che mi viene leggermente diverso (termine noto differente) e non capisco perché!!!
$Y(s)=\frac{e^{-2s}+25}{s^3}=1/{s^3}*e^{-2s}+25/s^3$
Antitrasformando ho:
$y(t)=1/2(t-2)^2+25/2t^2$ e svolgendo i prodotti ottengo:
$y(t)=13t^2-2t+2$
Perché +2 e non +15????
Risposte
Ma applicare il secondo teorema di shifting?
$\mathcal{L}^{-1}[e^{-as} F(s)]=f(t-a) H(t-a)$
dove $f$ è l'antitrasformata di $F$ e $H$ la funzione di Heaviside. Quindi l'antitrasormata della tua soluzione è
$y(t)=1/2 (t-2)^2* H(t-2)+25/2 t^2$.
Ora in $t=0$ hai $y(0)=2* H(-2)+0=0$ (la funzione di Heaviside vale $1$ per l'argomento maggiore di zero) e anche per la derivata otterrai una cosa simile. Infatti puoi scrivere la funzione come
$y(t)=25/2 t^2,\qquad 02$.
La derivata in $t=0$ è allora $y'(t)=25 t|_{t=0}=0$.
Ecco fatto!
$\mathcal{L}^{-1}[e^{-as} F(s)]=f(t-a) H(t-a)$
dove $f$ è l'antitrasformata di $F$ e $H$ la funzione di Heaviside. Quindi l'antitrasormata della tua soluzione è
$y(t)=1/2 (t-2)^2* H(t-2)+25/2 t^2$.
Ora in $t=0$ hai $y(0)=2* H(-2)+0=0$ (la funzione di Heaviside vale $1$ per l'argomento maggiore di zero) e anche per la derivata otterrai una cosa simile. Infatti puoi scrivere la funzione come
$y(t)=25/2 t^2,\qquad 0
La derivata in $t=0$ è allora $y'(t)=25 t|_{t=0}=0$.
Ecco fatto!
Cavolo hai ragione! Grazie. Mi dimentico sempre l'$H(t-k)$. Ma a parte questo, dove sbagliavo prima, che mi venivano due trasformate diverse?
La seconda è, diciamo, quella giusta, almeno per $t>2$. Credo hai fatto qualche errore nell'applicare il teorema dei residui. Ma adesso non mi balza all'occhio.
Ok, grazie. Eppure però ho ricontrollato le derivate più di una volta... almeno su quelle non dovrei aver fatto errori. Boh! Mistero!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo