Problema di Cauchy con equazione di Bernoulli: mi sto perdendo qualcosa
Il problema di Cauchy incriminato e' questo:
$$
\begin{cases}
y' = \frac{y}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} \\
y(1)=\alpha
\end{cases}
$$
Osservo innanzitutto che trattasi di un'equazione di Bernoulli, quindi sono nelle ipotesi del teorema di esistenza e unicita' locale, giusto? (per le $x$ che ha senso considerare, cioe' $x \gt 0$)
Quindi $\forall \alpha >= 0$ ($\alpha$ non puo' essere negativo) esiste sempre una sola soluzione locale, vedo gia' "ad occhio" che se $\alpha = 0$ allora la soluzione e' $y(x) = 0$ e se $\alpha = 1$ allora e' $y(x)=1$, entrambe sono soluzioni su $(0, + \infty)$.
Usando il solito metodo meccanico per le equazioni di Bernoulli arrivo alla soluzione generale
$$y(x)=((\sqrt{\alpha}-1) e^{\sqrt{x}-1} + 1)^2$$
Il risultato e' giusto, non ho fatto errori di conto, il problema e' che non capisco quale sia il dominio massimale di tale soluzione, io direi che e' il dominio piu' ampio su cui e' definita, ossia $(0, + \infty)$ per qualsiasi $\alpha \gt 0$. Le soluzioni dell'esercizio che ho pero' non concordano, anzi distinguono il caso $\alpha \in (0, 1)$ e il caso $\alpha >= 1$ trovando domini differenti
Grazie mille a tutti come sempre.
Piccola questione meno importante: io come vedete ho considerato il caso $\alpha = 0$ non trovando un motivo per non doverlo fare (l'esercizio dice solo $\alpha \in RR$) ma nonostante cio' la soluzione che ho (che e' molto stringata) lo ignora bellamente, c'e' qualche motivo per cui dovrei ignorarlo che mi sfugge?
$$
\begin{cases}
y' = \frac{y}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} \\
y(1)=\alpha
\end{cases}
$$
Osservo innanzitutto che trattasi di un'equazione di Bernoulli, quindi sono nelle ipotesi del teorema di esistenza e unicita' locale, giusto? (per le $x$ che ha senso considerare, cioe' $x \gt 0$)
Quindi $\forall \alpha >= 0$ ($\alpha$ non puo' essere negativo) esiste sempre una sola soluzione locale, vedo gia' "ad occhio" che se $\alpha = 0$ allora la soluzione e' $y(x) = 0$ e se $\alpha = 1$ allora e' $y(x)=1$, entrambe sono soluzioni su $(0, + \infty)$.
Usando il solito metodo meccanico per le equazioni di Bernoulli arrivo alla soluzione generale
$$y(x)=((\sqrt{\alpha}-1) e^{\sqrt{x}-1} + 1)^2$$
Il risultato e' giusto, non ho fatto errori di conto, il problema e' che non capisco quale sia il dominio massimale di tale soluzione, io direi che e' il dominio piu' ampio su cui e' definita, ossia $(0, + \infty)$ per qualsiasi $\alpha \gt 0$. Le soluzioni dell'esercizio che ho pero' non concordano, anzi distinguono il caso $\alpha \in (0, 1)$ e il caso $\alpha >= 1$ trovando domini differenti
Grazie mille a tutti come sempre.
Piccola questione meno importante: io come vedete ho considerato il caso $\alpha = 0$ non trovando un motivo per non doverlo fare (l'esercizio dice solo $\alpha \in RR$) ma nonostante cio' la soluzione che ho (che e' molto stringata) lo ignora bellamente, c'e' qualche motivo per cui dovrei ignorarlo che mi sfugge?
Risposte
Se \(y=0\) potresti perdere l'unicità. La funzione \(\frac{y}{\sqrt x} - \frac{\sqrt y}{\sqrt x} \) non è Lipschitziana se \(y\in [0, \epsilon]\), per via della radice quadrata.
"zariski":Ma non è detto che sia l'unica.
se $\alpha = 0$ allora la soluzione e' $y(x) = 0$
Usando il solito metodo meccanico per le equazioni di Bernoulli arrivo alla soluzione generale
$$y(x)=((\sqrt{\alpha}-1) e^{\sqrt{x}-1} + 1)^2$$
[...] distinguono il caso $\alpha \in (0, 1)$ e il caso $\alpha >= 1$
Se \(\alpha\) è troppo piccolo, il coefficiente dell'esponenziale è negativo e quindi ad un certo punto quella roba lì si annulla. Ma non avevamo detto che \(y(x)=0\) era una soluzione? Questo significa che è andata buttata l'unicità. E poi, se la funzione si annulla in \(x_\star\), ci si può raccordare alla soluzione nulla:
\[
y(x):= \begin{cases} ((\sqrt{\alpha}-1) e^{\sqrt{x}-1} + 1)^2, & 0
Come vedi, siccome c'è una radice quadrata di \(y\), permettere alla \(y\) di annullarsi produce questi fenomeni qua, di perdita di unicità. Anni fa parlammo di un fenomeno simile con ViciousGoblin:
ancora-sull-unicita-delle-soluzioni-di-eq-differenziali-t31109.html
Probabilmente il tuo testo richiede esplicitamente che \(y\) debba essere *strettamente* positiva per evitare queste cose.
Innanzitutto grazie mille della risposta.
Riguardo la questione del caso $\alpha = 0$ e' tutto chiaro adesso.
Il testo non lo richiede e infatti la soluzione che viene data e' esattamente quella che dici tu, con anche il riferimento al prolungamento. Non mi e' chiaro pero' perche' non posso permettere alla soluzione di annullarsi, sono d'accordo che se $y=0$ non e' piu' soddisfatto il teorema di esistenza e unicita' e che quindi se la soluzione si annulla potrebbe non essere unica. Ma quindi?
Scusa se sono un po' lento a comprendere e grazie mille anche per il link dell'altro topic.
Riguardo la questione del caso $\alpha = 0$ e' tutto chiaro adesso.
"dissonance":
Probabilmente il tuo testo richiede esplicitamente che \(y\) debba essere *strettamente* positiva per evitare queste cose.
Il testo non lo richiede e infatti la soluzione che viene data e' esattamente quella che dici tu, con anche il riferimento al prolungamento. Non mi e' chiaro pero' perche' non posso permettere alla soluzione di annullarsi, sono d'accordo che se $y=0$ non e' piu' soddisfatto il teorema di esistenza e unicita' e che quindi se la soluzione si annulla potrebbe non essere unica. Ma quindi?
Scusa se sono un po' lento a comprendere e grazie mille anche per il link dell'altro topic.
Il testo non lo richiede e infatti la soluzione che viene data e' esattamente quella che dici tu, con anche il riferimento al prolungamento.
AAAAaaah e allora tutto va bene. Tutte le soluzioni sono globali ma quelle con \(\alpha\) piccolo hanno una espressione un poco più complicata, perché a un certo punto toccano la retta \(y=0\), vi si attaccano e non si staccano più.
E' lo stesso fenomeno dell'altro topic, pari pari.
(Avevo capito che il testo dicesse che le soluzioni con \(\alpha\) piccolo non sono globali, ecco il perché del mio post precedente)
https://math.stackexchange.com/a/1242382/8157
forse qua si legge meglio, perché su Matematicamente è sparito il grafico.
forse qua si legge meglio, perché su Matematicamente è sparito il grafico.
Ho letto ma continuo a non capire; va bene che quando la soluzione si annulla non posso applicare il teorema di esistenza e unicita', ma allora? Non avro' garantito che la soluzione sia unica in quell'intorno, ma perche' allora la devo "attaccare" alla soluzione nulla?
Perche' $y(x)=((\sqrt{\alpha}-1) e^{\sqrt{x}-1} + 1)^2$ non e' soluzione su $(0, +\infty)$ per tutti gli $\alpha$? (anche quelli piccoli)
Perche' $y(x)=((\sqrt{\alpha}-1) e^{\sqrt{x}-1} + 1)^2$ non e' soluzione su $(0, +\infty)$ per tutti gli $\alpha$? (anche quelli piccoli)
E come fa a staccarsi? Se \(y\) è zero, o prossimo a zero, \(y-\sqrt y \le 0\). Quindi la derivata prima di \(y\) non può essere positiva. L'unica soluzione è che la derivata si annulli.
Ho ri-riflettuto riguardo tutto l'esercizio e in generale ho rivisto un po' la teoria e ora mi e' tutto chiaro. Scusa se rispondo un po' in ritardo ma il problema era mio che non capivo, non tuo.
Grazie mille ancora!
Grazie mille ancora!
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