Problema di Cauchy con EDO lineare

[Obidream]

Buona sera, vorrei dei chiarimenti sull'intervallo massimale del seguente Problema di Cauchy

${(y'=-(2xy)/(1+x^2)+1/(x(1+x^2))),(y(-1)=0):}$

L'equazione è nella forma $y'=a(x)*y+b(x)$ dove $a(x)-(2x)/(1+x^2)$ e $b(x)=1/(x(1+x^2))$

In particolare $a(x)$ è definita su tutto $RR$ mentre $b(x)$ su $(-oo,0)\cup(0,+oo)$, quindi da questo posso dedurre che l'intervallo massimale sarà incluso in $(-oo,0)\cup(0,+oo)$ e che la soluzione al Problema di Cauchy è unica?
Inoltre sceglierei come intervallo massimale $(-oo,0)$ in quanto è il più piccolo intervallo dell'intersezione dei domini delle funzioni $a,b$ a contenere $-1$?
Dando per buoni tutte questi dubbi, procederei così:

$A(x)=-int (2x)/(1+x^2)dx=-log(1+x^2)$ ( scelgo una primitiva con $c=0$)

Ora applico la formula risolutiva:

$y=e^(-log(1+x^2))*int e^(log(1+x^2))*1/(x(1+x^2))dx$

$y=1/(1+x^2)*int dx/x$

$y=(log|x|)/(1+x^2)+c$,$c in RR$

Dopo aver ricavato l'integrale generale, mi dedico a Cauchy e visto che sto considerando come intervallo massimale $(-oo,0)$ la mia soluzione diventa:

$y=log(-x)/(1+x^2)+c$

Imponendo le condizioni del Problema di Cauchy ricavo $c=0$ quindi la soluzione è $y=log(-x)/(1+x^2)$ su $I_max=(-oo,0)$

Tutto ciò ha senso?

[ciampax]

Mi sembra tutto corretto.

[Obidream]

Grazie per la conferma

Se ad esempio dovessi ricavare un intervallo massimale del tipo $[a,b]$ con $a,b in RR$ dovrei calcolare $y(a)$ ed $y(b)$ per vedere se soddisfano il Problema di Cauchy oppure per le lineari questo è sempre vero e quindi non ho problemi agli estremi dell'intervallo?

[ciampax]

Non ho capito bene la domanda.

[Obidream]

Faccio un esempio

${(y'=(x+1)/(x(y-1))),(y(1)=0):}$

Osservo che $f(x)=(x+1)/x$ ha come dominio $(-oo,0)\cup(0,+oo)$ ed è ivi continua mentre $g(y)=1/(y-1)$ ho come dominio $(-oo,1)\cup(1,+oo)$ ed è continua e derivabile con derivata prima continua.. quindi la soluzione al Problema di Cauchy esiste ed è unica...

Ora passo all'equazione e noto che $g(y)$ non è mai nulla e quindi non ci sono soluzioni costanti...

$int (y-1)dy=int (x+1)/x dx$

$(y-1)^2/2=x+log|x|+c$

$(y-1)^2=2x+2log|x|+c$

$y=1+-sqrt(2x+2log|x|+c)$

Ora impongo le condizioni iniziali e scelgo la soluzione col segno $-$ perché nel mio caso $y_0=0 in (-oo,1)$, ed il più piccolo intervallo del dominio di $g(y)$ è questo...

$1-sqrt(2+c)=0$ da cui $c=-1$ quindi la soluzione diventa $y(x)=1-sqrt(2x+2log(x)-1)$

Ora per il mio $I_max$ ho tre condizioni:

$I_max \sube (0,+oo)$, scelgo questo perché il mio $x_0=1$ ed il più piccolo intervallo del dominio di $f(x)$ è questo..

$y_0=1 in I_max$

$I_max \sube dom (y(x))$, ove la $y(x)$ è la soluzione del P.C

Ora per il dominio di $y(x)=1-sqrt(x+log(x)-1)$ devo imporre $2x+2log(x)-1>=0$, che è verificata per $1/2
$I_max \sube (\alpha,+oo)$

Tuttavia se calcolo $y(\alpha)=1$ che è però da escludere in quanto la EDO perde di significato ( non posso dividere per $0$)... quindi $I_max=(\alpha,+oo)$

Ora mi chiedevo se quest'ultimo punto va verificato ogni volta che ho un intervallo chiuso...

[ciampax]

Ah sì, ho capito. Bé, ovviamente in questo caso tale verifica dipende proprio dal fatto che, in partenza, hai imposto $y\ne 1$. Per cui in generale tali tipologie di verifiche vanno fatte se hai condizioni particolari da imporre alle soluzioni (o se vuoi alla $y$).