Problema di Cauchy con condizioni iniziali

[Marco Beta2]

Buongiorno a tutti, ho iniziato a studiare il problema di Cauchy con condizioni iniziali ma una cosa non mi è chiara...
L'esercizio è il seguente:

$
{ ( y''-2y'+10y=xe^x ),( y(0)=0 ),( y'(0)=0 ):}
$

a questo punto ho calcolato il delta tramite l'equazione associata che mi viene negativo... ricavo $ alpha= - 1/2 $ e $ beta= 3 $ che vado a sostituire nell'equazione della soluzione per l'omogenea ottenendo: $y(m)=C1 e^(-1/2 m) cos 3m + C2 e^(-1/2 m) sen 3m$ della quale poi vado a fare anche la derivata $ y'(m)=C1(-1/2 e^(-1/2 m) cos 3x + e^(-1/2 m)* (-3sen 3x)) + C2((-1/2) e^(-1/2 m) sen 3x + e^(-1/2 m)* 3 cos 3x) $

A questo punto come faccio per recuperare la soluzione con le mie condizioni iniziali?

Grazie in anticipo

[Marco Beta2]

"arnett":...

ciao e grazie per la risposta... ho calcolato la derivata perchè ho pensato che la seconda condizione iniziale va applicata alla derivata dato che sulla $y$ c'era un apice...

[Marco Beta2]

"arnett":Sì certo dovrai farlo ma dopo aver trovato la soluzione.
La soluzione dell'equazione differenziale si scrive come $y(x)=y_O(x)+y_P(x)$ dove $y_O(x)$ è una soluzione dell'equazione omogenea associata (e la hai determinata, ma con degli errori di calcolo che ti ho fatto notare) e $y_P(x)$ è una soluzione particolare dell'equazione con termine noto, che ancora non hai determinato.
Solo quando avrai l'integrale generale dell'equazione potrai derivare e imporre le condizioni iniziali per determinare il valore delle costanti.

Ok grazie mille adesso tutto è più chiaro