Problema di cauchy a variabili separabili
Ciao ragazzi..
Ho un problema su questo esercizio..
$y'=(e^2x)/(1+y)
a questo punto separo le variabili e mi ritrovo in questa condizione
$int(1+y)dy=int(e^2x)dx
svolgendo il primo integrale mi ritrovo
$y+1/2y^2=...
ed è qui mi sono bloccata... negli esercizi precedenti nn mi era mai capitato di avere 2 y...
e possibile quindi avere 2 y????
come faccio a questo punto a esplicitare la y????
grazie mille se nn sono stata chiara ditemelo
Ho un problema su questo esercizio..
$y'=(e^2x)/(1+y)
a questo punto separo le variabili e mi ritrovo in questa condizione
$int(1+y)dy=int(e^2x)dx
svolgendo il primo integrale mi ritrovo
$y+1/2y^2=...
ed è qui mi sono bloccata... negli esercizi precedenti nn mi era mai capitato di avere 2 y...
e possibile quindi avere 2 y????
come faccio a questo punto a esplicitare la y????
grazie mille se nn sono stata chiara ditemelo
Risposte
ciao, scusa in che senso avere 2 y?
ciao
ciao
nel senso che a sinistra dell'equazione compare 2 volte la y...
come faccio a esplicitarla????
negli altri esercizi doveva risultare una cosa del tipo
$y=x^2+5x$
cioe una sola y di grado 1 a sinistra
e le x a destra..
se ancora nn sono chiara dimmelo
come faccio a esplicitarla????
negli altri esercizi doveva risultare una cosa del tipo
$y=x^2+5x$
cioe una sola y di grado 1 a sinistra
e le x a destra..
se ancora nn sono chiara dimmelo
ok, no sei stata chiarissima...
sinceramente non ti so dire... forse (ma attenzine potrei dire una delle cavolate più grosse del secolo) fattorizzando l'espressione finale ottieni due funzioni che soddisfano entrambe lo stesso problema... (però mi sa che se non ricordo male esiste il teorema dell'unicità delle soluzioni)...
ciao ciao...
P.s. ripeto è una ma idea, non mi assumo responsabilità
edit ascolta giugo che mi sa di più sensato
sinceramente non ti so dire... forse (ma attenzine potrei dire una delle cavolate più grosse del secolo) fattorizzando l'espressione finale ottieni due funzioni che soddisfano entrambe lo stesso problema... (però mi sa che se non ricordo male esiste il teorema dell'unicità delle soluzioni)...
ciao ciao...
P.s. ripeto è una ma idea, non mi assumo responsabilità
edit ascolta giugo che mi sa di più sensato
Agata ma al termine noto c'è l'esponenziale $e^(2x)$ o la funzione lineare $e^2x$?
E le condizioni iniziali del problema dove sono?
Ad ogni modo, l'integrale ti si presenta in forma implicita del tipo $g(y)=f(x)+c$; per esplicitare devi analizzare l'invertibilità di $g$ e vedere per quali scelte della costante d'integrazione $c$ i valori assunti dal secondo membro cadono nel codominio di $g$.
Nel tuo caso, insomma, devi trovare i valori di $c$ per cui ha soluzioni l'equazione (di secondo grado in $y$) $y^2/2+y-(f(x)+c)=0$; in tal modo, per fissato $c$, riesci a determinare $y$ in funzione di $x$: di tali funzioni, inoltre devi determinare bene l'insieme di definizione.
Se chiarisci meglio i dati del problema possiamo rivedere insieme i conti.
E le condizioni iniziali del problema dove sono?
Ad ogni modo, l'integrale ti si presenta in forma implicita del tipo $g(y)=f(x)+c$; per esplicitare devi analizzare l'invertibilità di $g$ e vedere per quali scelte della costante d'integrazione $c$ i valori assunti dal secondo membro cadono nel codominio di $g$.
Nel tuo caso, insomma, devi trovare i valori di $c$ per cui ha soluzioni l'equazione (di secondo grado in $y$) $y^2/2+y-(f(x)+c)=0$; in tal modo, per fissato $c$, riesci a determinare $y$ in funzione di $x$: di tali funzioni, inoltre devi determinare bene l'insieme di definizione.
Se chiarisci meglio i dati del problema possiamo rivedere insieme i conti.
l'esponenziale è $e^(2x)$ avevo sbagliato,
e la condizione iniziale è $y(0)=0$
e la condizione iniziale è $y(0)=0$
Quindi mi ritrovo con
$y+1/2y^2=1/2e^(2x)+c$
con $c=-1/2
quindi a questo se ho capito bene dovrei svolgere l'equazione
$(y^2)/2+y-(1/2e^(2x)-1/2)=0
giusto?????
$y+1/2y^2=1/2e^(2x)+c$
con $c=-1/2
quindi a questo se ho capito bene dovrei svolgere l'equazione
$(y^2)/2+y-(1/2e^(2x)-1/2)=0
giusto?????
"agata":
Quindi mi ritrovo con
$y+1/2y^2=1/2e^(2x)+c$
con $c=-1/2
quindi a questo se ho capito bene dovrei svolgere l'equazione
$(y^2)/2+y-(1/2e^(2x)-1/2)=0
giusto?????
Brava, hai afferrato al volo!
grazie 
il problema è che nn ho la minima idea di come si risolva quell'equazione
e domani ciò l'esame
(risate di disperazione)
il problema è che nn ho la minima idea di come si risolva quell'equazione
e domani ciò l'esame
(risate di disperazione)
Beh, si risolve come una qualsiasi equazione di secondo grado in $y$ con la solita formula risolutiva.
Hai $y^2+2y-(e^(2x)-1)=0$ (semplificando quel $1/2$ che dà noia) e perciò:
$y=-1 pm sqrt(1+(e^(2x)-1))=-1 pm sqrt(e^(2x))=-1 pm e^x$.
Ora non ti rimane altro che verificare quale sia la soluzione che soddisfa effettivamente la condizione iniziale, se quella col segno $+$ o quella col segno $-$.
Non male, no?
Hai $y^2+2y-(e^(2x)-1)=0$ (semplificando quel $1/2$ che dà noia) e perciò:
$y=-1 pm sqrt(1+(e^(2x)-1))=-1 pm sqrt(e^(2x))=-1 pm e^x$.
Ora non ti rimane altro che verificare quale sia la soluzione che soddisfa effettivamente la condizione iniziale, se quella col segno $+$ o quella col segno $-$.
Non male, no?
"Gugo82":
Beh, si risolve come una qualsiasi equazione di secondo grado in $y$ con la solita formula risolutiva.
Hai $y^2+2y-(e^(2x)-1)=0$ (semplificando quel $1/2$ che dà noia) e perciò:
$y=-1 pm sqrt(1+(e^(2x)-1))=-1 pm sqrt(e^(2x))=-1 pm e^x$.
Ora non ti rimane altro che verificare quale sia la soluzione che soddisfa effettivamente la condizione iniziale, se quella col segno $+$ o quella col segno $-$.
Non male, no?
dai quindi non avevo una stupidata immensa dicendo che avremmo trovato 2 equazioni che risolvono il problema...
ciao
sei un mito...
dovrebbero vendere i gugo82 tascabili da portare all'esame
dovrebbero vendere i gugo82 tascabili da portare all'esame
"agata":
sei un mito...
dovrebbero vendere i gugo82 tascabili da portare all'esame
@Gugo82:
questa mettila da parte per raccontarla ai nipotini!
"Fioravante Patrone":
[quote="agata"]sei un mito...
dovrebbero vendere i gugo82 tascabili da portare all'esame
@Gugo82:
questa mettila da parte per raccontarla ai nipotini![/quote]
Me la metto tra i segnalibri.
"agata":
sei un mito...
dovrebbero vendere i gugo82 tascabili da portare all'esame
Li proporrò come gadget ricordo del prossimo raduno del forum
Paola
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