Problema di cauchy a due variabili

[r4ph43l]

Buonasera! Sto cercando di svolgere un esercizio che ho trovato su un vecchio tema d'esame riguardante il problema di Cauchy.
Il testo dice semplicemente di risolvere il problema, dunque: qua sotto c'e il testo e una mia soluzione che pero non so se sia giusta o meno non avendo le soluzioni. Probabilmente sto per scrivere una cavolata

$ { ( y' = -2x/(4+x^2)*y ),( y(-1) = 1 ):} $

Allora prima cosa, $ y' = dy/dx $, sostituisco nel mio problema iniziale

$ dy/dx = -(2x/(4+x^2))y $

A questo punto devo portare da una parte tutte le x e dall'altra tutte le y (correggetemi se sbaglio).

$ dy/y = (-2x/(4+x^2))dx $

Perfetto, ora metto l'integrale per entrambi i membri:

$ int_()^() dy/y = int_()^() (-2x)/(4+x^2)dx $

Ora integrare la prima parte e' semplice -> ln |y| + c . Per la seconda parte invece estraggo il -2 e ottengo cosi

$ -2 int_()^() x/(x^2+4) dx $

Risolvo e ottengo

$ 1/2 ln (x^2+4) + c $

Metto le 2 parti assieme:

$ ln y = 1/2 ln(x^2+4) + c $

Adesso, dovendo espicitare la y elevo il secondo membro per e:

$ y = e^(1/2 ln(x^2+4)) $ + c

quindi da qua i passi sono semplici in quanto sostituisco x=-1 e y=1 ottenendo cosi un valore per c.

Le mie domande sono principalmente 3:
1) E' giusto questo procedimento??
2) E' il procedimento "piu' rapido"??
3) Ci sono errori nel procedimento??

Ringrazio anticipatamente chi potra' darmi una mano

[lordb]

Ohoh qui c'è puzza di urang-utang©!

Scherzi a parte non è così che si dovrebbero risolvere le equazioni differenziali (ovvero utilizzando la notazione di Leibniz e poi considerare la derivata come "rapporto di infinitesimi").
Il passaggio incriminato è questo:

$y'(x)=d/dx y(x)$ -> $y'(x)=dy/dx$ e far finta che la $y$ sia diventata variabile indipendente (quando è una funzione incognita della $x$).

Per maggiori è più dettagliate informazioni cerca il pdf. scritto da "Fioravante Patrone", un tempo reperibile qui http://www.fioravante.patrone.name/.%5Cmat%5Cu-u%5Cit%5Cequazioni_differenziali_intro.htm.

Provo a mostrarti l'approccio usuale per affrontare questo tipo di problema.

Riscriviamo il tutto:

${(y'(x)=-2x/(4+x^2)*y(x)),(y(-1)=1):}$

Innanzi tutto vediamo che $x$$inRR$.

La soluzione costante vi è quando:

$-2x/(4+x^2)=0 <=> x=0$

In questo caso si ha:

$phi:RR->RR,x->0$ soluzione costante.

Visto che $phi(-1)=0!=1$ ci accorgiamo che non è la soluzione cercata.

Tuttavia abbiamo trovato una notevole informazione, per la condizione di unicità della soluzione al problema si ha:

$y(x)>0$.

Ora possiamo dividere, ottenendo:

$1/(y(x)) *y'(x) = -2x/(4+x^2)$

Procediamo con un'integrazione definita a destra e a sinistra tra $[-1,x]$ (inoltre cambio il nome della variabile indipendente $x$ in $u$ per non incorrere in abuso di notazione).

$int_-1^x 1/(y(u)) *y'(u)du= int_-1^x -2u/(4+u^2) du $

$[log |y(u)|]_(-1)^x=-[log|4+u^2|]_(-1)^x$

$log |y(x)|-log|y(-1)|=-log(4+x^2)+log(5)$

$log(y(x)) = log(5) + log (1) -log(4+x^2)$

$log(y(x))= log (5/(4+x^2))$

$y(x)=5/(4+x^2)$

Dunque si ha la soluzione del problema di Cauchy:

$psi:RR->RR,x->5/(4+x^2)$

Spero di essere stato chiaro

[r4ph43l]

Azz! Ho completamente cannato tutto allora! Non so dove avevo trovato quel metodo di risoluzione che evidentemente era sbagliato.
Adesso provero' a esercitarmi su esercizi analoghi utilizzando questo (giusto) approccio.

Ti ringrazio ancora, ho capito adesso!

[lordb]

Di niente, mi fa piacere esserti stato utile.

Se hai qualche dubbio scrivi pure

[r4ph43l]

Dopo aver guardato attentamente il tuo svolgimento e dopo aver letto il file di fioravante (riporto qua il link dato che quello che avevi postato te non e' piu' disponibile: http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... -utang.pdf), ho provato a fare un altro esercizio sempre sulla falsa riga:

$ { ( y' = -3x^2y^2 ),( y(0) = 1/8 ):} $

$ x in R $

$ 0 != 1/8 $

$ y > 0 $

Ora procedo con l'integrazione a destra e sinistra tra [0,x]. Cambio nome alla var x con u.

$ int_(0)^(x) 1/(y^2(u))*y'(u) du = int_(0)^(x) -3u^2 du $

$ [1/y(u)] = [-x^3] $
Non riesco a trovare il tasto per inserire l'intervallo che, come detto prima va da [0,x].

$ 1/(y(x)) - 1/(y(0)) = -x^3-x^0 $

$ y(x) - y(0) = - 1/x^3 $

$ y(x) = -1/x^3+ 1/8 $

Se ho capito il procedimento, e se i calcoli che ho fatto sono giusti, la soluzione dovrebbe essere corretta. In caso di errore, so gia' dove andare a cercare e cioe' nell' intervallo su cui integrare, credo

[lordb]

Ecco l'errore:

$int_0^x 1/(y^2(u))*y'(u)du=int_0^x -3u^2du$

$-[1/(y(u))]_0^x=-[u^3]_0^x$

$1/(y(x))-1/(y(0)) = x^3-0^3$

$1/(y(x))=x^3+8$

$y(x)=1/(x^3+8)$

[r4ph43l]

ah cavolo, errori di calcolo -_-'. Ok, quindi almeno la parte procedurale su come fare l'es l'ho capita, ora e' solo da fare esercizi e stare attento agli errori di calcolo!

Grazie ancora!

[lordb]

Di niente, è stato un piacere!