Problema di Cauchy

[AlyAly2]

Ciao a tutti, il problema di Cauchy è il seguente:
$ { ( x'=root3t(3+x^8) ),( x(0)=1):} $
Facendo lo studio qualitativo ad un certo punto viene chiesto il segno della soluzione $phi$ e dice che $phi(t)>0, AAt in(-omega,omega)$ dove con $(-omega,omega)$ ho indicato l'intervallo massimale di definizione. Io non capisco come si arriva a dire che $phi(t)>0, AAt in(-omega,omega)$, io ho trovato che $phi$ è strettamente crescente su $(0,omega)$ e decrescente
in $(-omega,0)$ ma da li non so come fare a capire se la soluzione è sempre positiva o no...
grazie mille in anticipo!!

[Paolo902]

Ciao

Quello che chiedi segue subito dalla monotonia (tra l'altro nota che la soluzione è pari, ma dalla forma in cui scrivi l'intervallo massimale penso tu l'abbia già osservato): prima di $t=0$ decresce e dopo cresce, quindi in 0 c'è un minimo (assoluto). Insomma, se ti fai un disegnino vedi che la tua soluzione non può mai scendere sotto 1 e, quindi, a maggior ragione è strettamente positiva. Ti torna?

[AlyAly2]

Si, mi torna, grazie mille