Problema di Cauchy

[ummo89]

Dato il problema di Cauchy :

$x(t)-y''(t)+y(t)=(e^(-t))-1$
$x'(t)+y'(t)-y(t)=-3e^(-t) +t$
$x(0)=0 , y(0)=1 , y'(0)=-2$


Ho provato a risolverlo in questo modo , non capisco dove sbaglio :

$X-(s^2 Y - sy(0) -y'(0))+Y=1/(s+1) - 1/s$
$sX-x(0)+sY-y(0)-Y=-3/(s+1)+1/s^2$

$X-s^2 Y + s -2+Y=1/(s+1) - 1/s$
$sX+sY-1-Y=-3/(s+1)+1/s^2$


$X+Y(-s^2 +1)=1/(s+1) + 1/s - s$
$sX+Y(s-1)=-3/(s+1)+1/s^2 + 1/s$


$( ( 1 , -s^2 +1 ),( s , s-1 ) )( ( X ),( Y ) )=( ( (1/(s+1))+(1/s)-s ),( (-3/(s+1))+(1/s^2)+(1/s) ) )$


Calcolo la Y :

$(| ( 1, ((1/(s+1))+(1/s)-s)),( s , ((-3/(s+1))+(1/s^2)+(1/s)) ) |)/| ( 1,-(s^2 - 1)),( s , s-1 ) | = ((-3/(s+1))+(1/(s^2))+(1/s)-(s/(s+1))-1+s^2)/((s-1)+s(s^2 -1))$

Arrivato qui mi fermo perchè credo che il risultato sia sbagliato . . . ho antitrasformato il tutto con Wolfram ,il quale mi da come risultato :

$-1+e^(-t)-t+(e^(-t/2) (sqrt(3) cos((sqrt(3) t)/2)+5 sin((sqrt(3) t)/2)))/sqrt(3)$


il vero risultato della Y deve essere :

$-1+e^(-t)$

Qualcuno sà dirmi cosa ho sbagliato ?

[ummo89]

Qualche idea ?

[Fabietto86]

Ciao! Sei sicuro di aver scritto bene il testo?
Il sistema l'hai sicuramente impostato in modo corretto ed anche i calcoli mi sembrano giusti.
Tuttavia il risultato corretto (che presumo tu abbia preso dal libro) non può essere
\( y(t) = -1 + e^{-t} \)
poichè si ha
\( y(0)=-1+e^0=0 \)
in contrasto con \( y(0) =1 \).
Non è che hai sbagliato a copiare le condizioni iniziali? Altrimenti non saprei proprio...

P.S. Inoltre, se ti fa piacere, sappi che la soluzione che hai trovato con i tuoi calcoli antitrasformando soddisfa la C.I. \( y(0)=1 \).

[ummo89]

il testo è quello sicuro....era un esercizio d'esame di complementi di Analisi . . . il testo era questo http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/aa1 ... 9-2012.pdf

[Fabietto86]

però avevi sbagliato a scrivere il vero risultato (secondo il testo) .
\( y(t) =-t+e^{-t} \)
soddisfa in effetti la C.I.

[Fabietto86]

Provando a rifare i calcoli credo che tu abbia sbagliato il secondo membro di entrambe le equazioni.
Mi risulta
\( X+ Y(-s^2+1)=\displaystyle \frac{1}{s+1}-\frac{1}{s}-s +2 \)
\( sX+Y(s-1)=\displaystyle -\frac{3}{s+1}+\frac{1}{s^2}+1 \)
Ti risulta?

[ummo89]

"Fabietto86":Provando a rifare i calcoli credo che tu abbia sbagliato il secondo membro di entrambe le equazioni.
Mi risulta
\( X+ Y(-s^2+1)=\displaystyle \frac{1}{s+1}-\frac{1}{s}-s +2 \)
\( sX+Y(s-1)=\displaystyle -\frac{3}{s+1}+\frac{1}{s^2}+1 \)
Ti risulta?

Hai ragione,avevo sbagliato a copiare il risultato . . . comunque si,quello che hai scritto tu mi torna . . . sono gli stessi calcoli che ho fatto io,solo che dopo io ho trasformato il $2$ che sta al secondo membro della prima equazione in $2/s$ e l'$1$ che sta al secondo memebro della seconda eqauzione in $1/s$.

Quindi credo di aver sbagliato proprio quello . . . non dovevo trasformare i termini che stavano a sinistra,ma lasciarli in quel modo....giusto?

Ora provo a fare i calcoli cosi...

[Fabietto86]

Esatto, non dovevi trasformarli. Io ho portato avanti i calcoli ed ho visto che così si arriva alla soluzione cercata. Però ad un certo punto ho barato partendo dalla soluzione e tornando indietro perchè avevo troppi termini...magari tu sei più smart di me con i conti. Buon conto!

[ummo89]

ho fatto qualche calcolo poi ho antitrasformato con wolfram . . . il risultato viene giusto .. . ora cerco di antitrasformare tutto a mano . . . grazie per avermi fatto notare l'errore ! ! !