Problema di Cauchy

[innersmile-votailprof]

Risolvere il problema di Cauchy:

$\{(y'=(1-e^-y)/(2x+1)),(y(0)=2):}$


$y'=(1-e^-y)/(2x+1)$
$dy/dx= (1-e^-y)/(2x+1)$
$dy/(1-e^-y) = dx/(2x+1)$

$log|1-e^-y|=1/2log|2x+1|+c$

E' corretto fin qui? Poi come dovrei continuare? Grazie

[robbstark1]

All'ultimo passaggio è sbagliato il calcolo dell'integrale di sinistra.

[innersmile-votailprof]

"robbstark":All'ultimo passaggio è sbagliato il calcolo dell'integrale di sinistra.

mi potresti correggere e, se non è un problema, dirmi come continuare? grazie

[poncelet]

L'integrale di sinistra viene
\(
\log(1-e^{y})
\)

[robbstark1]

Ok, in teoria il valore assoluto dovresti lasciarlo però.
Poi siccome cominciamo col cercare una soluzione in un intorno del punto iniziale,
$2x+1 > 0$ e quindi leviamo il valore assoluto tranquillamente,
$1-e^y < 0$ quindi si può levare il valore assoluto cambiando il segno dell'argomento,
ottenendo dunque:
$ log(e^y - 1) = 1/2 log(2x+1) + c $

Ora si gioca un po' per trovare la $y$:
$ log(e^y -1) = log( sqrt(2x+1) )+ log k $

$e^y - 1 = k sqrt(2x+1) $

$ y = log( k sqrt(2x+1) +1) $

A questo punto basta imporre la condizione iniziale.
In alternativa la costante si trova prima se gli integrali si calcolano definiti: tra 2 e y quello a sinistra; tra 0 e x quello a destra. Poi si fanno analoghi passaggi per trovare la y.

P.s.: Le radici quadrate non vengono come dovrebbero, ma spero si capisca lo stesso.

[innersmile-votailprof]

Allora avevo intuito bene cosa fare...ma non sapevo bene come trattare la $k$ perchè il professore ce la fa includere nella costante $c$. Comunque grazie!

[robbstark1]

Sì, semplicemente poni $c=log k$ perchè ti facilita a lavorare con le proprietà dei logaritmi.