Problema di Cauchy

[poncelet]

Si consideri il problema di Cauchy

\[
\begin{cases}
\\ x'=\sin(tx)
\\ x(0)=1
\end{cases}
\]

1. Dimostrare che ammette una unica soluzione \(\phi\) definita su tutto \(\mathbb{R}\)
2. Scrivere lo sviluppo di Taylor del secondo ordine di \(\phi\) centrato in \(t=0\) e tracciare un grafico locale di \(\phi\) in un intorno di \(t=0\)
3. Provare che \(\phi\) è una funzione pari

Soluzione

1. Sia \(f(t,x)=\sin(tx)\). Abbiamo che \(f\) è definita nell'aperto \(\Omega=\mathbb{R}^{2}\) ed inoltre \(f \in C^{1}(\Omega)\) e quindi esiste ed è unica la soluzione locale \(\phi\) al problema di Cauchy dato.
Siano allora \(a,b \in \mathbb{R}\) con \( a \(|f(t,x)| \leq 1 \quad \forall (t,x) \in [a,b] \times \mathbb{R}\) e quindi abbiamo che la soluzione \(\phi\) è definita in \([a,b]\) e data l'arbitrarietà di \(a,b\) è definita in tutto \(\mathbb{R}\).
2. Per scrivere lo sviluppo di Taylor del secondo ordine di \(\phi(t)\) in un intorno di \(t=0\) faccio così:

\(\phi(0)=1\)
\(\phi'(0)=0\)
\(\phi''=\phi'\cos(t\phi) \implies \phi''(0)=0\)
Possibile che lo sviluppo richiesto sia
\(\phi(t)=1
\)?

[Quinzio]

Lo sviluppo mi sembra corretto, io avrei fatto la stessa cosa.