Problema di Cauchy

[sirio25788-votailprof]

Salve a tutti,
volevo chiedere il vostro aiuto riguardo ad un dubbio su di un esercizio svolto dal mio prof.

Risolvere il problema

${(y'=-(2x^2+y)/(x^2y-x)),(y(1)=0):}$

Suggerimento: Cercare un fattore integrante del tipo f(x)

Consideriamo la forma differenziale
$omega(x,y)=(2x^2+y)f(x)dx+(x^2y-x)f(x)dy$ che supponiamo essere esatta. Tale forma differenziale è definita in $Omega={(x,y)in RR^2 text{tale che x appartiene al dominio di f(x)}}$ ma la consideriamo in $A={(x,y)in RR^2 text{tale che x>0 xy<1 e x appartiene al dominio di f(x)}}$.

....
Il dominio della funzione a destra dell'equazione differenziale è ${(x,y)in RR^2: x^2y-x !=0}$ ossia ${(x,y)in RR^2: x!=0, xy !=1}$.
Ciò che non riesco a capire è come si ottiene A.

[gugo82]

Devi sempre ragionare nella più grande componente connessa del dominio del secondo membro che contiene il punto iniziale \((1,0)\).
Facendo un disegnino ti accorgi subito che \(A\) è la suddetta componente connessa.

[sirio25788-votailprof]

Il dominio della funzione a destra dell'equazione differenziale è ${(x,y)in RR^2: x!=0, xy !=1}$, ossia tutto il piano tranne l'iperbole equilatera xy=1. Dato che ci interessa il punto (1,0) che si trova sull'asse delle x tra il primo e il quarto quadrante, allora prendiamo come A l'insieme di tutte le x del piano tale che xy<1 e x>0 . Giusto?

[gugo82]

Esatto.

[sirio25788-votailprof]

Grazie