Problema di cauchy

[sirio25788-votailprof]

Salva a tutti,
volevo chiedervi una mano riguardo una tipologia di problemi di Cauchy su cui sto avendo delle difficoltà. Riporto qui di seguito un esempio di tale tipologia di esercizio:

${(y'=f(x y)),(y(0)=0):}$

con
$f(x,y)=\{ ( 2 x sin(1/x) - cos(1/x) , " se " x!=0), (0 , " se " x=0):}$

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Nota
Ovviamente f(x,y). Purtroppo non sono riuscito a scrivere la virgola tra x e y. Se c'è qualcuno che sa spiegarmi come fare è ben accetto.
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Per $x!=0$ la soluzione dell'equazione differenziale è $y(x)=x^2sin(1/x) + c_1$ mentre per $x=0$ ho $y(x)=c_2$.
Ma a questo punto non so come risolvere il problema di Cauchy.

[sirio25788-votailprof]

up

[gugo82]

Visto che la funzione a secondo membro dipende solo dalla variabile \(x\), il problema si riscrive:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) = f(x)\\
y(0) = 0
\end{cases}
\]
e quindi il problema ti sta chiedendo di determinare una primitiva di \(f\) che passi per \(0\)... Cosa che sai risolvere da Analisi I.


P.S.: Scusa, che significa che ci sono due soluzioni, una per \(x\neq 0\) e l'altra per \(x=0\)???

[sirio25788-votailprof]

Le due soluzioni mi erano venute svolgendo le seguenti equazioni differenziali:
1)$y'=2xsin(1/x)-cos(1/x)$
2)$y'=0$
ma a questo punto penso di essere fuori strada...

[gugo82]

Per quanto riguarda il problema, vai a prendere un libro di Analisi I, perché esso si risolve usando il teorema più importante che si studia in Analisi I.

Per quanto riguarda le presunte due soluzioni, detto con franchezza hai scritto una bestialità.
Infatti come puoi supporre che una soluzione di un PdC sia definita solo in un punto?

[sirio25788-votailprof]

Ok grazie. Stavo procedendo in maniera meccanica e non mi sono reso conto di ciò che stavo facendo.