Problema di Cauchy

[Pickup]

Ciao a tutti ragazzi. Sono alle prese con un problema di Cauchy.


$y'(t)=(y^2+2y)/(2*(y+1)*(x^2+x))$
$y(x_0)=y_0$

1) Per quali dati iniziali vale il teorema di esistenza e unicità locale?

Se considero $f(x,y)=(y^2+2y)/(2*(y+1)*(x^2+x))$ e calcolo la derivata parziale rispetto ad y della f(x,y)

$f_y=(y^2+2y+2)/(2*(y+1)^2*(x^2+x))$ $=>$ $x!=-1,0, y!=-1 $ Scrivere questo non so se è proprio corretto.

Calcolo per prima cosa il dominio: $2*(y+1)*(x^2+x)!=0$ $=>$ $x!=-1,0, y!=-1 $

Il dominio è dato da $D=(x,y) in R^2 | x!=-1,0, y!=-1$

$f in C^1(D)$ . Quindi avrò esistenza e unicità locale per ogni $(x_0,y_0) in D$.

2) Esistono dati iniziali per cui esistenza globale di soluzione?

Il vuoto totale

3) Determinare la famiglia di soluzioni (dipendente dal dato iniziale)

a) Verifico le simmetrie. Non le scrivo ma fidatevi, non ci sono.
b) Calcolo le soluzioni particolari.

Devo porre $f(x,y)=(y^2+2y)/(2*(y+1)*(x^2+x))=0$ da cui ricavo $y=-2 , y=0$ . Ricavo anche che $1/(x*(x^2+x))=0$ che è falso. Nel caso fosse vero, cosa sarebbe ? Un punto singolare? Posso dire che non ho massimi e minimi?
Quindi ho trovato che $y=-2 , y=0$ sono soluzioni particolari e che per il teorema di esistenza e unicità locale le altre soluzioni non possono intersecare queste due soluzioni (nel mio caso). Giusto?

c) Calcolo l'equazione differenziale. Variabili separabili

$\int (2*(y+1))/(y^2+2y)dy= \int 1/(x^2+x)dx$

$1/2*ln(y+2)+1/2*ln(y)=-1/2*ln(x+1)+1/2*ln(x)+c$

Applico l'esponenziale in entrambe i membri, semplifico l'1/2 e ottengo:
$y*(y+2)=(e^c*x)/(x+1)$

Ora dovrei ricavare la y e la c :

$y= (sqrt((k+1)*(x+1))-sqrt(x+1))/sqrt(x+1)$
$y= -(sqrt((k+1)*(x+1))+sqrt(x+1))/sqrt(x+1)$

Le soluzioni sono DEFINITE in tutto R eccetto $(sqrt((k+1)*(x+1))-sqrt(x+1)),-(sqrt((k+1)*(x+1))+sqrt(x+1)), x!=-1$ ??????

Fino qui può andare? Dopo calcolo il segno della derivata prima , derivata seconda e limiti. Speriamo bene

[Pickup]

Studio della derivata prima:

$y'(t)=(y^2+2y)/(2*(y+1)*(x^2+x))>0$

$N>0 -> (y^2+2y)>0 -> y<-2 , y>0 $
$D>0 -> 2*(y+1)*(x^2+x)>0 $ Qui mi sono un pò confuso. Mi potete dare una mano?

[gugo82]

Per l'esistenza locale, evidentemente la tua funzione è di classe \(C^\infty\) lì dov'è definita, i.e. in \((\mathbb{R}\setminus \{0,-1\})\times (\mathbb{R}\setminus\{-1\})\), ergo la tua funzione è lipschitziana rispetto ad \(y\) intorno ad ogni punto di tale insieme; perciò vale l'unicità locale a meno di prendere \(x_0\neq 0,-1\) ed \(y_0\neq -1\).

Per l'esistenza globale, ti conviene distinguere un po' di casi, e.g. \(x_0>0,\ y_0 >-1\), \(-1-1\), etc... Ed applicare il teorema di prolungabilità globale che trovi in queste dispense.

Tuttavia si possono fare le seguenti considerazioni.
Innanzitutto, la sostituzione \(z=(y+1)^2\) ti consente di riscrivere la EDO nella forma:
\[
\tag{1} z^\prime = \frac{z-1}{x\ (x+1)}
\]
che è senz'altro più semplice della EDO iniziale e va studiata unicamente nel semipiano \(z> 0\)
La soluzione stazionaria è \(\bar{z}(x)=1\).
La \(\phi (x,z):= \frac{z-1}{x\ (x+1)} \) nel semipiano \(z> 0\) è positiva in \(\{ x<-1 \text{ o } x>0,\ z>1\}\) oppure in \(\{ -11):
[asvg]xmin=-3; xmax= 2; ymin=0; ymax= 5;
axes("","");
marker="arrow"; line([-2.75,2.25],[-2.25,2.75]); line([-2.75,4.25],[-2.25,4.75]); line([-2.75,0.75],[-2.25,0.25]);
line([-0.75,2.75],[-0.25,2.25]); line([-0.75,4.75],[-0.25,4.25]); line([-0.75,0.25],[-0.25,0.75]);
line([1.25,2.25],[1.75,2.75]); line([1.25,4.25],[1.75,4.75]); line([1.25,0.75],[1.75,0.25]);
stroke="red"; strokewidth=3; line([-4,0],[3,0]);
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2; line([-4,1],[3,1]);
stroke="orange"; strokewidth=1; line([-1,7],[-1,-2]); line([0,7],[0,-2]); dot([-1,1]); dot([0,1]);[/asvg]
(in azzurro la soluzione stazionaria; in arancio le rette verticali da escludere dal piano; in rosso il confine del semipiano di definizione)

E ora puoi anche continuare da te...

[Pickup]

Grazie mille gugo. Ma una domanda: Che programma hai usato per tracciare il diagramma di monotonia ?La risoluzione della mia eq differenziale è sbagliata? Non ci sono arrivato alla sostituzione che hai fatto tu, ma penso che si possa fare anche con la separazione di variabili. Non mi ritrovo quando dico che le soluzioni sono definite su tutto R eccetto quei due punti...e inoltre non so se è propiamente corretto scrivere quella $f_y$

[gugo82]

"Pickup":Che programma hai usato per tracciare il diagramma di monotonia?

Ho usato il programmino che abbiamo qui sul forum, cioè ASCIIsvg, come spiegato qui.

"Pickup":La risoluzione della mia eq differenziale è sbagliata?

A dire il vero non ho controllato.

"Pickup":Non ci sono arrivato alla sostituzione che hai fatto tu, ma penso che si possa fare anche con la separazione di variabili.

Beh, certo che si può fare separando direttamente le variabili... Però la sostituzione rende un po' più semplice il procedimento.

Ed è normale che tu non ci sia arrivato subito alla sostituzione... Sapessi quante cose non riesco ancora a vedere io, che sono un po' più grande di te!
In proposito, è molto bella la frase che ho riportato in firma.

"Pickup":Non mi ritrovo quando dico che le soluzioni sono definite su tutto R eccetto quei due punti...e inoltre non so se è propiamente corretto scrivere quella $f_y$

Le soluzioni di un problema di Cauchy sono sempre definite in intervalli.
Quindi le tue soluzioni saranno definite o in (un sottointervallo di) \(]-\infty ,-1[\), o in (un sottointervallo di) \(]-1,0[\) oppure in (un sottointervallo di) \(]0,\infty[\).

Ad esempio, la soluzione massimale del PdC:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) = -y^2(x)\\
y(1)=1
\end{cases}
\]
è \(y: ]0,\infty[ \ni x \mapsto 1/x \in \mathbb{R}\) e non \(\mathbb{R}\setminus \{0\} \ni x \mapsto 1/x \in \mathbb{R}\).

[Pickup]

Si vero è bella la frase nella firma. Grazie mille. Qundi dopo che ho calcolato l'eq differenziale, devo ricavarmi la y(x) e vedere dove è definita. In questo caso, sopra ho scritto una cavolata.

Grazia ancora

[gugo82]

"Pickup": Qundi dopo che ho calcolato l'eq differenziale, devo ricavarmi la y(x) e vedere dove è definita.

No, ciò ti potrebbe portare ad affermare cose senza senso.

Ti ho appunto fatto l'esempio del PdC semplice nel post precedente...
La soluzione di quel PdC è \(y(x)=1/x\), e però essa non va pensata come definita in tutto \(\mathbb{R}\setminus \{0\}\) (come sarebbe naturale) ma solamente nell'intervallo \(]0,\infty[\) (che è il più grande intervallo del suo insieme di definizione naturale che contiene il punto iniziale \(1\)).

Nel tuo caso, le soluzioni saranno definite, come già detto, o in (un sottointervallo di) \(]−\infty,−1[\), o in (un sottointervallo di) \(]−1,0[\) oppure in (un sottointervallo di) \(]0,\infty[\).
Ad esempio, se nel tuo PdC assegni la condizione iniziale \(y(1)=0\), la soluzione sarà quella stazionaria \(\bar{y}: ]0,\infty[ \ni x\mapsto 0 \in \mathbb{R}\), che non è definita in tutto \(\mathbb{R}\).
Allo stesso modo, se assegni la condizione iniziale \(y(-1/2)=0\), la soluzione sarà quella stazionaria \(\bar{y}: ]-1,0[ \ni x\mapsto 0 \in \mathbb{R}\).

[Pickup]

Io devo studiare le soluzioni, non in un punto particolare, ma in $y(x_0)=y_0$. La soluzione che mi viene data dal mio docente è questa

$y(x)= -1+-sqrt(1+k*x/(x+1))$ che piu o meno è come quella che ho scritto io. Poi ha trovato la costante k

$k=(y_0^2+2y_0)*(x_0+1)/x_0$ dove il segno della soluzione è $+$ se $y_0 > -1$ e $- se y_0<-1$
Mi dice poi che le soluzioni sono definite solo in intervalli in cui $x in R | 1+k*x/(x+1)>0 , x !=-1$


Io invece ho ragionato cosi:

$y*(y+2)=(e^c*x)/(x+1)$

Ricavo la y (Pongo $e^c=k$) :

$y= (sqrt((k+1)*(x+1))-sqrt(x+1))/sqrt(x+1)$
$y= -(sqrt((k+1)*(x+1))+sqrt(x+1))/sqrt(x+1)$

Se seguo il suo ragionamento, scrivere che le soluzioni sono definite solo in intervalli in cui $x in R |((k+1)*(x+1))/(x+1)>0, x !=-1$ è sbagliato?

Questo mi crea un pò di confusione.