Problema di Cauchy
Salve, vorrei sapere se ho fatto bene questo PC: $y'=sqrt(y)e^t$ con condizione iniziale $y(0)=1$ .
Dunque, prima ho trasformato l'equazione in $dy/sqrt(y)=(e^t)dt$ e ho applicato l'integrale, dal quale ho ricavato $2sqrt(y)=e^t +c$ , e quindi l'integrale generale $y(t)=((e^t+c)/2)^2$ .
Ora, dalla condizione iniziale dovrei avere $1=((e^0+c)/2)^2$ , cioè $1=((1+c)/2)^2$ , cioè $1=(1+c)/2$ , dal quale ottengo $c=1$ , ed infine la soluzione del problema, che dovrebbe essere $y=((e^t+1)/2)^2$ .
Qualcuno può dirmi se il ragionamento e/o il risultato sono giusti?
Grazie!
Dunque, prima ho trasformato l'equazione in $dy/sqrt(y)=(e^t)dt$ e ho applicato l'integrale, dal quale ho ricavato $2sqrt(y)=e^t +c$ , e quindi l'integrale generale $y(t)=((e^t+c)/2)^2$ .
Ora, dalla condizione iniziale dovrei avere $1=((e^0+c)/2)^2$ , cioè $1=((1+c)/2)^2$ , cioè $1=(1+c)/2$ , dal quale ottengo $c=1$ , ed infine la soluzione del problema, che dovrebbe essere $y=((e^t+1)/2)^2$ .
Qualcuno può dirmi se il ragionamento e/o il risultato sono giusti?
Grazie!
Risposte
Ciao!
Si, il ragionamento è giusto.
Se vuoi accellerare i calcoli puoi imporre la condizione iniziale anche in questo passaggio $2sqrt(y) = e^t + c$ così da trovare immediatamente il valore di C senza dover fare ulteriori calcoli
Si, il ragionamento è giusto.
Se vuoi accellerare i calcoli puoi imporre la condizione iniziale anche in questo passaggio $2sqrt(y) = e^t + c$ così da trovare immediatamente il valore di C senza dover fare ulteriori calcoli
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