Problema di Cauchy

[innersmile-votailprof]

Risolvere il problema di Cauchy:

${(y'+ycosx=sen2xy^2),(y(0)=1):}$

Come devo risolvere l'equazione differenziale? se non ci fosse stata $y^2$ al secondo membro avrei trattato l'equazione come una del tipo "a variabili separabili", ma quell'$y^2$ mi depista...potreste aiutarmi?

[ciampax]

Mai sentito parlare di equazione di Bernoulli? http://it.wikipedia.org/wiki/Equazione_ ... _Bernoulli

[innersmile-votailprof]

ci ho provato seguendo il link che mi hai postato (non era un argomento inserito nel programma dalla prof), ma non riesco a capire un passaggio.

$y'+ycosx=sen2xy^2$

$1/y^2dy/dx+cosx/y=sen2x$

$(y')/y^2+cosx/y=sen2x$

Pongo $w=1/y$, quindi $w'=-1/y^2dy/dx$

Sostituendo nella traccia:

$-w'+wcosx=sen2x$ dovrebbe venire così...ora non mi spiego perchè in wikipedia porta $w'=(n-1)f(x)+(1-n)g(x)$?

[innersmile-votailprof]

Ho svolto diversi passaggi, anche per la formula generale, ma non dovrebbe essere $w'(1-n)+wf(x)=g(x)$? quindi al massimo si dovrebbe dividere $f(x)$ e $g(x)$ per $(1-n)$, no?

[ciampax]

La formula di wiki è [tex]$w'+w(1-n)f(x)=(1-n)g(x)$[/tex]: se sostituisci [tex]$n=2$[/tex] (il valore in questo caso) ottieni la stessa equazione che hai trovato tu.

[innersmile-votailprof]

Ok, quindi avrò $w'-wcosx=-sen2x$

Considero l'omogenea associata:
$\lambda-cosx=0 ->y(x)=e^(cosx)+u(x)$

Applicando il metodo della somiglianza avrò:
$u(x)=Asen2x+Bcos2x$
$u'(x)=2Acos2x-2Bsen2x$
Quindi $2Acos2x-2Bsen2x-Asen2xcosx-Bcos2xcosx=sen2x$ e come si risolve?

[Fioravante Patrone1]

"innersmile":Ok, quindi avrò $w'-wcosx=-sen2x$

Considero l'omogenea associata:
$\lambda-cosx=0 ->y(x)=e^(cosx)+u(x)$

L'omogenea associata non è a coefficienti costanti

[innersmile-votailprof]

e quindi come dovrei risolverla?

[gugo82]

Variabili separabili (per l'omogenea associata) e variazione delle costanti (per la completa).

[Quinzio]

In questa pagina, usando una logica micidiale, ti spiegano come risolvere $w^{'} -P(x)w = Q(x)$

http://en.wikipedia.org/wiki/Integrating_factor

[gugo82]

@Quinzio: Perchè linkare WIKI quando se n'è parlato poco tempo fa?

[innersmile-votailprof]

"Fioravante Patrone":[quote="innersmile"]Ok, quindi avrò $w'-wcosx=-sen2x$

Considero l'omogenea associata:
$\lambda-cosx=0 ->y(x)=e^(cosx)+u(x)$

L'omogenea associata non è a coefficienti costanti [/quote]

giusto...quindi avrò $w'-wcosx=-sen2x$

$int(dw)/w=intcosxdx$

E quindi
$w=c_1e^(-senx)$

Ora però non ricordo come si risolve la completa con la variazione delle costanti...o meglio, non mi riesce perchè i termini centrali non si annullano!

$w=c_1e^(-senx)$
$w'=c'_1e^(-senx)-c_1cosxe^(-senx)$

Ho quest'equazione:
$w'-wcosx=-2senx$

Sostituendo
$c'_1e^(-senx)-c_1cosxe^(-senx)-c_1cosxe^(-senx)=-sen2x$

Dove ho sbagliato?