Problema di Cauchy
Buongiorno a tutti!
Devo risolvere il seguente problema di Cauchy: [tex]\begin{cases} \frac{y''}{(1+y')^{\frac{3}{2}}}=\frac{8t^3}{(t^4+1)^2}\\ y(1)=0\\ y'(1)=0 \end{cases}[/tex]
Mi è venuto naturale integrare ambo i membri dell'equazione differenziale in quanto gli integrali che ottengo sono immediati, tuttavia la seconda integrazione è particolarmente laboriosa.
Avreste qualche suggerimento?
Devo risolvere il seguente problema di Cauchy: [tex]\begin{cases} \frac{y''}{(1+y')^{\frac{3}{2}}}=\frac{8t^3}{(t^4+1)^2}\\ y(1)=0\\ y'(1)=0 \end{cases}[/tex]
Mi è venuto naturale integrare ambo i membri dell'equazione differenziale in quanto gli integrali che ottengo sono immediati, tuttavia la seconda integrazione è particolarmente laboriosa.
Avreste qualche suggerimento?
Risposte
$int(8t^3)/((t^4+1)^2)dt$ puoi risolverlo per sostituzione: $s=t^4+1$, $ds=4t^3dt
"Gi8":
$int(8t^3)/((t^4+1)^2)dt$ puoi risolverlo per sostituzione: $s=t^4+1$, $ds=4t^3dt
Il problema non è questo integrale, ma è il passaggio successivo. Infatti da questa prima integrazione si ottiene una prima costante che complica il passo seguente...
A te cosa succede integrando la seconda volta?
Potresti scrivere tutti i passaggi, fino al punto in cui ti blocchi?
[tex]\frac{y''}{(1+y')^{\frac{3}{2}}}=\frac{8t^3}{(t^4+1)^2}[/tex]
In ogni caso io avrei risolto ponendo [tex]u=y'[/tex], ottenendo
[tex]\frac{u'}{(1+u)^{\frac{3}{2}}}=\frac{8t^3}{(t^4+1)^2}[/tex]
In ogni caso io avrei risolto ponendo [tex]u=y'[/tex], ottenendo
[tex]\frac{u'}{(1+u)^{\frac{3}{2}}}=\frac{8t^3}{(t^4+1)^2}[/tex]
Dalla prima integrazione ottengo: [tex]-2(1+y')^{-\frac{1}{2}}=-\frac{2}{t^4+1}+C_1,\; \forall C_1 \in\mathbb{R}[/tex]. A questo punto dovrei trovare [tex]y[/tex] in quanto dalla prima integrazione ho ottenuto una relazione in [tex]y'[/tex]. Tuttavia l'integrale a secondo membro è un po' articolato per la presenza della costante di integrazione e del fatto che devo elevare al quadrato ambo i membri...
Spero di essere stato chiaro!
[Ho provato anche io con la sostituzione che hai fatto tu, ma in sostanza il problema non mi sembra che cambi...]
Spero di essere stato chiaro!
[Ho provato anche io con la sostituzione che hai fatto tu, ma in sostanza il problema non mi sembra che cambi...]
$(1+y')^(-1/2)=1/(t^4+1)+c_1$
Sì, non è molto bella
Forse conviene sfruttare il fatto che $y'(1)=0$, ricavando $c_1$
Dovrebbe venire $c_1=1/2$.
Ma non so di quanto la situazione sia migliorata
Sì, non è molto bella
Forse conviene sfruttare il fatto che $y'(1)=0$, ricavando $c_1$
Dovrebbe venire $c_1=1/2$.
Ma non so di quanto la situazione sia migliorata
Già. Dovrebbe risultare: [tex]y(t)=\frac{1}{6}t^3+\frac{1}{2t}-\frac{2}{3}[/tex] ma ancora non riesco ad individuare la strada più rapida (ammesso che esista!)...
$(1+y')^(-1/2)=1/(t^4+1)+1/2=>y'(t)=(3t^8+2t^4-5)/(t^4+3)^2$
invece dovrebbe venire $y'(t)=1/2t^2-1/(2t^2)$ (se la soluzione è quella che hai scritto tu)
Quindi c'è qualcosa che non va...
invece dovrebbe venire $y'(t)=1/2t^2-1/(2t^2)$ (se la soluzione è quella che hai scritto tu)
Quindi c'è qualcosa che non va...
Un possibile errore nella consegna?!
"Andrea90":A questo punto me lo auguro
Un possibile errore nella consegna?!
Era una prova d'esame?
No... da un libro! Provo a controllare nell'errata corrige!
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