Problema di Cauchy
Sto studiando il problema di Cauchy: [tex]$ \begin{cases} \dot y = f(t,y) \\ y(t_0)=y_0 \end{cases}$[/tex], con [tex]$f: A \to \mathbb{R}^n$[/tex] funzione continua ed è localmente lipschitziana rispetto a [tex]$y$[/tex] uniformemente in [tex]$t$[/tex], dove[tex]$A \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$[/tex] è un aperto.
Sotto queste ipotesi, so che esiste un intorno [tex]$I$[/tex] di [tex]$x_0$[/tex] in cui è definita una soluzione derivabile [tex]$\bar{y}$[/tex] del Problema (sfruttando l'ipotesi di continuità); tale soluzione è unica (grazie all'ipotesi di loc. lip.).
Ora, io so che se [tex]$f$[/tex] ha derivate parziali continue in [tex]$A$[/tex] questo garantisce la loc. lip. e quindi è un criterio sufficiente per l'esistenza e unicità locale.
(Finora mi sembra di non aver detto sciocchezze
)
La sola differenziabilità invece è sufficiente?
La seconda domanda concerne l'intervallo di definizione della soluzione: seguendo la dimostrazione del Teorema di esistenza e unicità, so con certezza che esiste un opportuno [tex]$\delta$[/tex] per cui [tex]$I=[t_0 -\delta, t_0 + \delta]$[/tex]. Ma la $\bar{y}$ potrebbe essere prolungabile a un intervallo [tex]$J$[/tex] t.c. [tex]$I \subset J$[/tex]. Ma al di fuori dell'intervallo $I$ ho per garantita soltanto l'esistenza?
Inoltre, se ad esempio [tex]$\lim_{t \to a^-} \bar{y}(t)= \infty$[/tex], (cioè se la soluzione "esplode in tempo finito") ho che l'intervallo massimale di esistenza è sicuramente contenuto in [tex]$(- \infty, a)$[/tex], cioè non posso prolungare la soluzione oltre [tex]$a$[/tex]. Credo che il motivo sia che, anche prolungando, non si può evitare una discontinuità in $a$, ma sappiamo che la soluzione è addirittura con derivata continua; quindi si avrebbe una contraddizione. E' giusto?
Sotto queste ipotesi, so che esiste un intorno [tex]$I$[/tex] di [tex]$x_0$[/tex] in cui è definita una soluzione derivabile [tex]$\bar{y}$[/tex] del Problema (sfruttando l'ipotesi di continuità); tale soluzione è unica (grazie all'ipotesi di loc. lip.).
Ora, io so che se [tex]$f$[/tex] ha derivate parziali continue in [tex]$A$[/tex] questo garantisce la loc. lip. e quindi è un criterio sufficiente per l'esistenza e unicità locale.
(Finora mi sembra di non aver detto sciocchezze
)La sola differenziabilità invece è sufficiente?
La seconda domanda concerne l'intervallo di definizione della soluzione: seguendo la dimostrazione del Teorema di esistenza e unicità, so con certezza che esiste un opportuno [tex]$\delta$[/tex] per cui [tex]$I=[t_0 -\delta, t_0 + \delta]$[/tex]. Ma la $\bar{y}$ potrebbe essere prolungabile a un intervallo [tex]$J$[/tex] t.c. [tex]$I \subset J$[/tex]. Ma al di fuori dell'intervallo $I$ ho per garantita soltanto l'esistenza?
Inoltre, se ad esempio [tex]$\lim_{t \to a^-} \bar{y}(t)= \infty$[/tex], (cioè se la soluzione "esplode in tempo finito") ho che l'intervallo massimale di esistenza è sicuramente contenuto in [tex]$(- \infty, a)$[/tex], cioè non posso prolungare la soluzione oltre [tex]$a$[/tex]. Credo che il motivo sia che, anche prolungando, non si può evitare una discontinuità in $a$, ma sappiamo che la soluzione è addirittura con derivata continua; quindi si avrebbe una contraddizione. E' giusto?
Risposte
Per il punto 1): no, non è sufficiente, ti serve che $f$ sia differenziabile e che $f'$ si mantenga limitato in un intorno del dato iniziale. Quindi, strettamente parlando, la condizione $f \in C^1$ è ridondante. Ma rimuoverla significa introdurre una complicazione per un guadagno nullo: nella pratica, la differenziabilità è la classe $C^1$.
Per il punto 2): Fuori dall'intervallo $I$ non hai garantito proprio nulla. Certo, a meno che non continuino ad essere verificate le ipotesi del teorema di esistenza e unicità. In quel caso, se la soluzione si può prolungare, il prolungamento è unico. Questa è l'idea dietro il teorema di prolungamento che sicuramente vedrai (se non hai già visto).
Sull'ultimo punto, hai ragione. Per definizione una soluzione di una equazione differenziale ordinaria è una funzione continua e derivabile. Se una funzione non è continua automaticamente non è soluzione. (Qui, in realtà, si apre tutto un capitolo. Ma per il momento questa conclusione è sufficiente).
Per il punto 2): Fuori dall'intervallo $I$ non hai garantito proprio nulla. Certo, a meno che non continuino ad essere verificate le ipotesi del teorema di esistenza e unicità. In quel caso, se la soluzione si può prolungare, il prolungamento è unico. Questa è l'idea dietro il teorema di prolungamento che sicuramente vedrai (se non hai già visto).
Sull'ultimo punto, hai ragione. Per definizione una soluzione di una equazione differenziale ordinaria è una funzione continua e derivabile. Se una funzione non è continua automaticamente non è soluzione. (Qui, in realtà, si apre tutto un capitolo. Ma per il momento questa conclusione è sufficiente).
Grazie, Dissonance! Illuminante come al solito 
Il Teorema di prolungamento ancora devo vederlo. Gli ho appena dato uno sguardo per capire meglio il tuo discorso, ma poi lo studierò con calma.
Ps.:
Ok, mi accontento per adesso
Ma sono curioso di una cosa: in che ambito siamo? Analisi funzionale?
Il Teorema di prolungamento ancora devo vederlo. Gli ho appena dato uno sguardo per capire meglio il tuo discorso, ma poi lo studierò con calma.
Ps.:
Qui, in realtà, si apre tutto un capitolo. Ma per il momento questa conclusione è sufficiente
Ok, mi accontento per adesso
Ma sono curioso di una cosa: in che ambito siamo? Analisi funzionale?
Veramente il discorso a cui pensavo è una cosa tipica delle equazioni alle derivate parziali. Prendo a prestito un esempio dal libro di Evans per illustrare rapidamente. Una equazione alle derivate parziali molto semplice è la cosiddetta equazione del trasporto:
${(frac{\partial u}{partial t}(t, x)+frac{partial u}{partial x}(t, x)=0, t > 0), (u(0, x)=u_0(x), t=0):}.$
La prima cosa che viene in mente è definire soluzione di questo problema una funzione $u$ di due variabili $t, x$ (temporale e spaziale) continua e derivabile che verifichi direttamente le condizioni su esposte. Questo è esattamente quello che hai fatto relativamente al tuo problema di Cauchy. Ora, si vede abbastanza facilmente che, se $u_0$ è continua e derivabile, l'unica soluzione di questa equazione è
$u(t, x)=u_0(t-x).$
Uno però si chiede: vabbé, ma se $u_0$ non è continua, oppure non è derivabile, che faccio? Butto tutto all'aria e vado al bar? Oppure dichiaro che, per definizione, è soluzione debole di questo problema la funzione $u(t, x)=u_0(t-x)$?
Chiaramente questa ultima strada è quella più fruttuosa. La morale della favola è che certe volte può essere molto conveniente allargare la definizione di soluzione, indebolendo le richieste su di essa. Può quindi capitare che una funzione non continua sia soluzione di una equazione differenziale: chiaramente, in un senso tutto da specificare.
([size=75]In realtà non so quanto questo discorso si applichi alle equazioni differenziali ordinarie. Leggo su Nonlinear dispersive equations di Terence Tao, cap.1 pag.1, che in questo contesto di solito si resta nella categoria delle soluzioni classiche. Ma qui sto parlando di questioni di cui sono completamente all'oscuro.[/size])
${(frac{\partial u}{partial t}(t, x)+frac{partial u}{partial x}(t, x)=0, t > 0), (u(0, x)=u_0(x), t=0):}.$
La prima cosa che viene in mente è definire soluzione di questo problema una funzione $u$ di due variabili $t, x$ (temporale e spaziale) continua e derivabile che verifichi direttamente le condizioni su esposte. Questo è esattamente quello che hai fatto relativamente al tuo problema di Cauchy. Ora, si vede abbastanza facilmente che, se $u_0$ è continua e derivabile, l'unica soluzione di questa equazione è
$u(t, x)=u_0(t-x).$
Uno però si chiede: vabbé, ma se $u_0$ non è continua, oppure non è derivabile, che faccio? Butto tutto all'aria e vado al bar? Oppure dichiaro che, per definizione, è soluzione debole di questo problema la funzione $u(t, x)=u_0(t-x)$?
Chiaramente questa ultima strada è quella più fruttuosa. La morale della favola è che certe volte può essere molto conveniente allargare la definizione di soluzione, indebolendo le richieste su di essa. Può quindi capitare che una funzione non continua sia soluzione di una equazione differenziale: chiaramente, in un senso tutto da specificare.
([size=75]In realtà non so quanto questo discorso si applichi alle equazioni differenziali ordinarie. Leggo su Nonlinear dispersive equations di Terence Tao, cap.1 pag.1, che in questo contesto di solito si resta nella categoria delle soluzioni classiche. Ma qui sto parlando di questioni di cui sono completamente all'oscuro.[/size])
Capisco. Ti ringrazio nuovamente per la disponibilità 
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