Problema di Cauchy
Salve,
c'è qualcosa in quello che faccio che è sbagliato quando provo a risolvere il problema di Cauchy:
$y''=-y$
$y(0)=1$
so che la risposta è $\cos x$ ma vorrei dimostrarlo col metodo delle soluzioni dell'equazione caratteristica:
Allora.. l'equazione caratteristica è $a^2+1=0$ che ammette le soluzioni in $\mathbb{R}$ $a_1=i$, $a_2=-i$ ;
Da ciò che mi ricordo dovrei trovare per ogni radice della caratteristica, una funzione del tipo $e^{ax}$ e poi combinare linearmente ciascuna funzione per ottenere l'integrale generale che in questo caso mi risulta essere:
$y (x)=C_1e^{ix}+C_2e^{-ix}$ , adesso non so bene come arrivare a $\cos x$ perchè se sostituisco $x=0$ ottengo $C_1+C_2=1$ ...dove sbaglio ?
EDIT: ho corretto le radici del polinomio caratteristico ma il problema è sempre quello: come faccio ad arrivare a $\cos x$ ?
EDIT 2: corretto !
c'è qualcosa in quello che faccio che è sbagliato quando provo a risolvere il problema di Cauchy:
$y''=-y$
$y(0)=1$
so che la risposta è $\cos x$ ma vorrei dimostrarlo col metodo delle soluzioni dell'equazione caratteristica:
Allora.. l'equazione caratteristica è $a^2+1=0$ che ammette le soluzioni in $\mathbb{R}$ $a_1=i$, $a_2=-i$ ;
Da ciò che mi ricordo dovrei trovare per ogni radice della caratteristica, una funzione del tipo $e^{ax}$ e poi combinare linearmente ciascuna funzione per ottenere l'integrale generale che in questo caso mi risulta essere:
$y (x)=C_1e^{ix}+C_2e^{-ix}$ , adesso non so bene come arrivare a $\cos x$ perchè se sostituisco $x=0$ ottengo $C_1+C_2=1$ ...dove sbaglio ?
EDIT: ho corretto le radici del polinomio caratteristico ma il problema è sempre quello: come faccio ad arrivare a $\cos x$ ?
EDIT 2: corretto !
Risposte
Ma quando mai [tex]$a^2+1=a(a+1)$[/tex]???
sì sì...scusate.... ho corretto ma non so ugualmente come continuare.
Edit: scusate ancora...non ho corretto un bel niente...vedo di farlo
Edit: scusate ancora...non ho corretto un bel niente...vedo di farlo
"Orlok":
...
so che la risposta è $\cos x$
...
"Sai" una cosa sbagliata
(più correttamente: credi di sapere una cosa, che è sbagliata)Occhio, hai un'equazione del secondo ordine ed una sola condizione iniziale!
"Fioravante Patrone":
[quote="Orlok"]
...
so che la risposta è $\cos x$
...
"Sai" una cosa sbagliata
(più correttamente: credi di sapere una cosa, che è sbagliata)Occhio, hai un'equazione del secondo ordine ed una sola condizione iniziale![/quote]
Sì, infatti anche in questo sono un pò perplesso. Dunque....
sono arrivato all'integrale generale $t(x)=C_1e^{ix}+C_2e^{-ix}$
cercando di non usare il mio super potere "perdersi nei bicchieri d'acqua", devo riuscire a trovare $y(x)$
EDIT: Allora, ho trovato che $t(x)=C_1(\cos x+i\sin x)+C_2(\-cosx-i\sin x)$ è la classe delle $\infty^2$ soluzioni. Adesso mi confondo un pò...cosa mi suggerite di fare per trovare la soluzione unica? Sostituire $x=0$ e imporre $t(0)=1$ ?
"Orlok":
soluzione unica
"Fioravante Patrone":
Occhio, hai un'equazione del secondo ordine ed una sola condizione iniziale!
A volte si vedono (!) casi di "cecità" impressionanti, incredibili 
"dissonance":
[quote="Orlok"]soluzione unica
"Fioravante Patrone":[/quote]
Occhio, hai un'equazione del secondo ordine ed una sola condizione iniziale!
Soluzione unica=parole della prof.
Intanto scrivere $e^{-ix}=-\cos x-i\sin x$ è corretto?
"Orlok":Ergo: parole sbagliate della prof... Può succedere.
Soluzione unica=parole della prof.
Oppure tu non hai riportato esattamente il problema.
Comunque, se non sai ancora che un problema di Cauchy per una equazione del secondo ordine in forma normale richiede due condizioni iniziali, meglio che ti ripassi alla svelta un po' di teoria
Ok. Grazie del consiglio.
Il problema iniziale era dimostrare che la serie $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$ ha come somma $\cos x$ facendo la serie derivata prima e la serie derivata seconda. Quest'ultima infatti risulterebbe essere una serie i cui addendi risultano uguali alla serie di partenza a meno del segno e così la somma complessiva. Da qui nasce quel problema di Cauchy.
Però, in effetti sarebbe stato il caso di guardare anche gli addendi della serie derivata prima e mettere quindi nelle condizioni iniziali, oltre a $y(0)=1$ anche $y'(0)=0$
In tutto questo $e^{-ix}=-\cos x-i\sin x$ è corretto?
Il problema iniziale era dimostrare che la serie $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$ ha come somma $\cos x$ facendo la serie derivata prima e la serie derivata seconda. Quest'ultima infatti risulterebbe essere una serie i cui addendi risultano uguali alla serie di partenza a meno del segno e così la somma complessiva. Da qui nasce quel problema di Cauchy.
Però, in effetti sarebbe stato il caso di guardare anche gli addendi della serie derivata prima e mettere quindi nelle condizioni iniziali, oltre a $y(0)=1$ anche $y'(0)=0$
In tutto questo $e^{-ix}=-\cos x-i\sin x$ è corretto?
"Orlok":
In tutto questo $e^{-ix}=-\cos x-i\sin x$ è corretto?
no
$e^{-ix}=cos(-x)+i sen (-x)=cosx-isenx$
Ok, grazie.
Adesso il discorso quadra.
Adesso il discorso quadra.
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