Problema Di Cauchy
Allora è il secondo problema di Cauchy che affronto ... il primo è andato bene .... ma con questo non so nemmeno come partire ....
$y'=2y+x-1+x\times sinx$ con $x\in\mathbb{R}$
$y(1)=0$
Che ne pensate voi?
$y'=2y+x-1+x\times sinx$ con $x\in\mathbb{R}$
$y(1)=0$
Che ne pensate voi?
Risposte
Come non sai come partire?
1) Trovati l'integrale della omogenea
2) L'integrale particolare lo ottieni facilmente utilizzando: principio di sovrapposizione e metodo della somiglianza
1) Trovati l'integrale della omogenea
2) L'integrale particolare lo ottieni facilmente utilizzando: principio di sovrapposizione e metodo della somiglianza
Allora ok ... quindi considero l'omogenea e determino la soluzione generale .... che risulta essere:
$y(x)=Ce^{2x}$
Poi.... per la linearità dell'equazione ho che se y1 è la soluzione di y'=2y+x-1 e y2 è la soluzione di y=2y+x*sinx allora la soluzione a y'=2y+x-1+x*sinx
è data da y1 + y2.
Quindi se considero y=2y+x-1 trovo che la soluzione particolare y1 è:
$y1(x)=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}$
Però non saprei come trovare la soluzione particolare di y'=2y+x*sinx .....
$y(x)=Ce^{2x}$
Poi.... per la linearità dell'equazione ho che se y1 è la soluzione di y'=2y+x-1 e y2 è la soluzione di y=2y+x*sinx allora la soluzione a y'=2y+x-1+x*sinx
è data da y1 + y2.
Quindi se considero y=2y+x-1 trovo che la soluzione particolare y1 è:
$y1(x)=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}$
Però non saprei come trovare la soluzione particolare di y'=2y+x*sinx .....
"pater46":
[...] metodo della somiglianza
L'hai già studiato? Altrimenti.. Wronskiano. Ma con questo metodo fai in un attimo.
metodo della somiglianza? ... non l'ho incontrato fin'ora ...vediamo se trovo qualcosa ..... c'è nessuno che ne sà qualcosa?
Ehm, scusate, ma quella è una equazione lineare del tipo $y'+a(x) y=b(x)$ con $a(x)=-2$ e $b(x)=x-1+x\sin x$. Non fai prima ad usare la "formula"
[tex]$y(x)=e^{-A(x)}\left[\int b(x)\ e^{A(x)}\ dx+c\right]$[/tex]
dove [tex]$A(x)=\int a(x)\ dx$[/tex]?
[tex]$y(x)=e^{-A(x)}\left[\int b(x)\ e^{A(x)}\ dx+c\right]$[/tex]
dove [tex]$A(x)=\int a(x)\ dx$[/tex]?
ciampax hai ragione ed ho già provato solo che dopo mi trovo un integrale a primo impatto da paura :p ......
$\int x*sinx*e^{-2x}dx$
e mo come la mettiamo?
$\int x*sinx*e^{-2x}dx$
e mo come la mettiamo?
Ma dai, si fa per parti:
[tex]$\int x\sin x\ e^{-2x}\ dx=-\frac{1}{2} x\sin x\ e^{-2x}+\frac{1}{2}\int (\sin x+x\cos x) e^{-2x}\ dx$[/tex]
Adesso risolvi separatamente l'integrale di $\sin x e^{-2x}$ e $x\cos x e^{-2x}$ e vedi cosa ottieni: riuscirai a trovare una forma ciclica (cioè una cosa del tipo $I=A+aI$, dove $I$ è il tuo integrale, $A$ sono termini fuori dall'integrale e $a$ una costante).
[tex]$\int x\sin x\ e^{-2x}\ dx=-\frac{1}{2} x\sin x\ e^{-2x}+\frac{1}{2}\int (\sin x+x\cos x) e^{-2x}\ dx$[/tex]
Adesso risolvi separatamente l'integrale di $\sin x e^{-2x}$ e $x\cos x e^{-2x}$ e vedi cosa ottieni: riuscirai a trovare una forma ciclica (cioè una cosa del tipo $I=A+aI$, dove $I$ è il tuo integrale, $A$ sono termini fuori dall'integrale e $a$ una costante).
ok grazie ciampax 
.... provo e posto soluzione ..... speriamo bene
.... provo e posto soluzione ..... speriamo bene
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