Problema di cauchy
Ho alcuni problemi a risolvere il differenziale: $ y' = (y^2 -1) / ((y^2+1)* sqrt(1-x^2)) $ la condizione è $ y(0) = y0 $.
L'esercizio chiede di studiare al variare di y0 la monotonia delle soluzioni e di determinare un'espressione dell'integrale generale dell'equazione.
L'esercizio chiede di studiare al variare di y0 la monotonia delle soluzioni e di determinare un'espressione dell'integrale generale dell'equazione.
Risposte
Benvenuto.
Ti raccomando la lettura di questo avviso e di regolarti di conseguenza.
Inoltre non ti farebbe male un ripassino del regolamento.
Ti raccomando la lettura di questo avviso e di regolarti di conseguenza.
Inoltre non ti farebbe male un ripassino del regolamento.
Si, scusa ma avevo inserito il post in fretta... 
Comunque ho provato a risolvere il differenziale con il metodo delle variabili separbili.
Dopo di che, mi ritrovo con un integrale di grado2/grado2, quindi ho provato a fare la divisione di $ (y^2+1)/(y^2-1)$ può essere che il quoziente mi venga $Q(y)=1$ ed il resto $R(y)=2$ ? non vorrei già aver sbagliato da divisione....
Successivamente posso scrivere $int_( )^( ) 1 dy + int_( )^( ) 2/(y^2-1) dy $
Il primo integrale è facile, mentre il secondo posso dividere in due il denominatore: $ A/(y-1) + B/(y+1) $ ma poi mi risulta che $A+B=0 e A-B=2$ da cui $A=1 e B=-1$
$ int_()^() 1dy + int_()^() 1/(y-1)dy -int_()^() 1/(y+1)dy = y +log|y-1| + log|y+1| $ è corretto?
Ora, la soluzione per $ int_()^() 1/sqrt(1-x^2)dx= arcsin(x ) $
quindi divrei avere l'espressione generale dell'equazione: $ y +log|y-1| + log|y+1|= arcsin(x ) +c $
Ma da qui come posso studiare al variare di y0 la monotonia delle soluzioni? $ 0 +log|0-1| + log|0+1|= arcsin(y0 ) +c $[/tex]
Comunque ho provato a risolvere il differenziale con il metodo delle variabili separbili.
Dopo di che, mi ritrovo con un integrale di grado2/grado2, quindi ho provato a fare la divisione di $ (y^2+1)/(y^2-1)$ può essere che il quoziente mi venga $Q(y)=1$ ed il resto $R(y)=2$ ? non vorrei già aver sbagliato da divisione....
Successivamente posso scrivere $int_( )^( ) 1 dy + int_( )^( ) 2/(y^2-1) dy $
Il primo integrale è facile, mentre il secondo posso dividere in due il denominatore: $ A/(y-1) + B/(y+1) $ ma poi mi risulta che $A+B=0 e A-B=2$ da cui $A=1 e B=-1$
$ int_()^() 1dy + int_()^() 1/(y-1)dy -int_()^() 1/(y+1)dy = y +log|y-1| + log|y+1| $ è corretto?
Ora, la soluzione per $ int_()^() 1/sqrt(1-x^2)dx= arcsin(x ) $
quindi divrei avere l'espressione generale dell'equazione: $ y +log|y-1| + log|y+1|= arcsin(x ) +c $
Ma da qui come posso studiare al variare di y0 la monotonia delle soluzioni? $ 0 +log|0-1| + log|0+1|= arcsin(y0 ) +c $[/tex]
Help, please
"Alemx":
$ int_()^() 1dy + int_()^() 1/(y-1)dy -int_()^() 1/(y+1)dy = y +log|y-1| + log|y+1| $ è corretto?
c'e' un segno da invertire
$ int_()^() 1dy + int_()^() 1/(y-1)dy -int_()^() 1/(y+1)dy = y +log|y-1| - log|y+1| $
Ora, la soluzione per $ int_()^() 1/sqrt(1-x^2)dx= arcsin(x ) $
quindi divrei avere l'espressione generale dell'equazione: $ y +log|y-1| + log|y+1|= arcsin(x ) +c $
Ma da qui come posso studiare al variare di y0 la monotonia delle soluzioni? $ 0 +log|0-1| + log|0+1|= arcsin(y0 ) +c $[/tex]
Una soluzione e' $ y(0) = y_0 $ cioe' la $y$ per $x= 0 $ e' $y_0$
$ y_0 +log|y_0-1| - log|y_0+1|= c $
cioe' la soluzione e'
$ y +log|y-1| + log|y+1|= arcsin(x ) + y_0 +log|y_0-1| - log|y_0+1| $
studiare la monotonia significa (se non vado errato) che la famiglia di soluzioni sono strettamente crescenti.
y e' crescente, il logaritmo e' una funzione crescente.
Non c'e' granche da studiare, tutto e' crescente in quella espressione.
ooook!
Grazie mille, ho fatto qualche errore
!
Grazie mille, ho fatto qualche errore
!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo