Problema di Cauchy
Sono ancora alle prese con con i teoremi di esistenza e unicita delle EDO.
Il seguente: $ y' = txe^(-ty^2)$ con $y(0)=1$
Soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità delle soluzioni. Inoltre, essendo $f(t,x,y)=txe^(-ty^2)$
in ogni striscia $S= [0,a] * R ^2$ si ha $|f(t,x,y)|<=a|x|$ Quindi, in base al teorema di esistenza e unicita globale, la soluzione è
è indefinitamente prolungabile in R (a destra di t=0, che è quello che si chiede).
Qualcuno sa dirmi che cosa cambia con il seguente: $ y' = txe^(-t^2y)$ con $y(0)=1$ ?
Questo problema lo avrei trattato allo stesso modo, ma il testo dice che le ipotesi del teorema di esistenza e unicita globale non sono verificate a causa del fattore $ e^(-t^2y)$ .... Qualcuno sa spiegarmi il perchè ?
Non è sempre $|f(t,x,y)|<=a|x|$ ?
Il seguente: $ y' = txe^(-ty^2)$ con $y(0)=1$
Soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità delle soluzioni. Inoltre, essendo $f(t,x,y)=txe^(-ty^2)$
in ogni striscia $S= [0,a] * R ^2$ si ha $|f(t,x,y)|<=a|x|$ Quindi, in base al teorema di esistenza e unicita globale, la soluzione è
è indefinitamente prolungabile in R (a destra di t=0, che è quello che si chiede).
Qualcuno sa dirmi che cosa cambia con il seguente: $ y' = txe^(-t^2y)$ con $y(0)=1$ ?
Questo problema lo avrei trattato allo stesso modo, ma il testo dice che le ipotesi del teorema di esistenza e unicita globale non sono verificate a causa del fattore $ e^(-t^2y)$ .... Qualcuno sa spiegarmi il perchè ?
Non è sempre $|f(t,x,y)|<=a|x|$ ?
Risposte
Il teorema di esistenza ed unicità richiede che [tex]$f$[/tex] sia continua e localmente lipschitziana in [tex]$(x;y)$[/tex] intorno al dato iniziale; nel tuo caso suppongo che non lo sia; inoltre, uno dei teoremi di estensione della soluzione richiede quanto precedentemente ho detto assieme alla limitatezza di [tex]$f$[/tex].
Aggiungo che come dati inziziali, oltre a $y(0)=1$ ho anche $x(0)=1$.
Scusa, ma la funzione $f(t,x,y)= txe^(-t^2y) $
ha le seguenti derivate parziali $fx =te^(-t^2y)$ e $ fy=-t^3xe^(-t^2y) $ che a me sembrano entrambe continue e limitate.
Inoltre, $|f(t,x,y)|<=t|x|$ . Cio non è sufficiente a garantire la prolungabilità su R delle soluzioni?
Scusa, ma la funzione $f(t,x,y)= txe^(-t^2y) $
ha le seguenti derivate parziali $fx =te^(-t^2y)$ e $ fy=-t^3xe^(-t^2y) $ che a me sembrano entrambe continue e limitate.
Inoltre, $|f(t,x,y)|<=t|x|$ . Cio non è sufficiente a garantire la prolungabilità su R delle soluzioni?
@raimond: Che significa $x(0)=1$? La variabile indipendente qual è?
Se non ho capito male dovrebbe essere la $t$
Ah ecco non mi ero accorto che ci fosse anche una $t$. Mah, così a occhio io direi che nessuno dei due verifica esistenza e unicità globale... però sto dormendo in piedi. Aspetta di sentire qualche altra opinione più sveglia.
Mi sembra comunque il caso di riportare l'esercizio comoleto, che è il seguente:
Si deve discutere esistenza, unicità e prolungabilita delle soluzioni a destra di t=0 del problema di Caushy
$ x' =t + y/(1+x^2) $
$ y'= txe^(-t^2y) $
con $x(0)=y(0)=1$.
Si deve discutere esistenza, unicità e prolungabilita delle soluzioni a destra di t=0 del problema di Caushy
$ x' =t + y/(1+x^2) $
$ y'= txe^(-t^2y) $
con $x(0)=y(0)=1$.
Se guardassi bene le derivata sono localmente limitate; oppure avrei visto male io?! 
Meglio che controlli! 
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